§ 4. Промежутки на числовой оси

Определения и обозначения

Числовой промежуток — множество всех чисел, удовлетворяющих заданным границам и условиям включения концов. Например, условие «больше 1, но меньше 4» задаёт все числа между 1 и 4, кроме самих границ. Такое понятие нужно, чтобы описывать целую группу чисел одной записью, а не перечислять их по одному.

Интервал между числами a и b обозначают (a; b), и он состоит из чисел, для которых a < x < b. Ни a, ни b в интервал не входят, потому что оба знака неравенства строгие. Интервал удобен, когда требуется указать числа строго между двумя границами.

Отрезок от a до b обозначают [a; b]; его числа удовлетворяют условию a ≤ x ≤ b. Обе границы включены, поэтому отрезок содержит и a, и b. Такая запись нужна, когда допустимы сами крайние значения, а не только числа между ними.

Полуинтервал включает одну границу: [a; b) означает a ≤ x < b, а (a; b] — a < x ≤ b. Луч имеет одну конечную границу и продолжается в одну сторону: [a; +∞) означает x ≥ a, а (−∞; a] — x ≤ a. Эти обозначения позволяют точно задать множество, у которого один конец исключён или вовсе нет конечной границы.

Как это устроено

Промежуток задаётся не только числами на концах, но и условием, входят ли они в него. Это различие важно: множества чисел 2 < x < 5 и 2 ≤ x ≤ 5 отличаются хотя бы наличием или отсутствием чисел 2 и 5. Поэтому для полного описания промежутка недостаточно назвать его границы — нужно указать отношение к каждой из них.

Круглая скобка соответствует строгому неравенству, а квадратная — нестрогому. Если написано x > a, то значение a не подходит, поэтому точку a изображают пустой; при x ≥ a значение a подходит, и точка закрашенная. Это правило связывает запись, условие и рисунок, так что по любому из них можно восстановить два остальных.

Интервал и отрезок ограничены с двух сторон, а луч уходит от одной границы неограниченно далеко. У луча нет последнего числа: справа он может продолжаться к +∞, слева — к −∞. Бесконечность обозначает направление и отсутствие границы, а не конкретное число, поэтому включить её нельзя и у неё всегда круглая скобка.

Каждому промежутку соответствует неравенство, а его решения — именно числа этого промежутка. Например, запись [−1; 3) означает, что x не меньше −1 и строго меньше 3. Проверка на границах помогает не ошибиться: −1 подходит, а 3 — нет; все числа между ними подходят.

Чтобы изобразить промежуток, сначала отметь его границы в правильном порядке на оси. Затем поставь у каждой границы пустую или закрашенную точку в зависимости от скобки и выдели нужную часть оси между точками либо от одной точки в сторону стрелки. Такой порядок действий помогает не перепутать ни включение концов, ни направление луча.

Виды числовых промежутков

Чтобы воспользоваться таблицей, найди в условии знаки неравенства и отдельно проверь каждую границу. Строгий знак подскажет круглую скобку, а нестрогий — квадратную. Для луча дополнительно определи, в какую сторону от конечной границы продолжается множество.

Разбор задач

Задача 1. Запишите промежутком множество чисел x, для которых 2 < x < 5, и изобразите его на оси. Нужно понять, входят ли крайние числа, а затем выбрать подходящий вид промежутка. Оба знака строгие, поэтому границы не входят.

1. Записываем границы по возрастанию: сначала 2, затем 5.
2. Так как 2 < x и x < 5, обе границы исключены; ставим круглые скобки.
3. На оси отмечаем 2 и 5 пустыми точками и выделяем часть между ними.

Ответ: (2; 5). На оси выделен участок между 2 и 5, сами граничные точки не закрашены.

Задача 2. Запишите двойное неравенство −3 ≤ x < 4 в виде промежутка и отметьте его на числовой оси. Здесь условия у границ разные, поэтому нельзя автоматически поставить одинаковые скобки. Проверим отдельно −3 и 4, чтобы увидеть, какое число входит в множество, а какое нет.

1. Левая граница −3 входит, потому что стоит знак ≤; слева ставим квадратную скобку.
2. Правая граница 4 не входит, потому что стоит строгий знак <; справа ставим круглую скобку.
3. На оси −3 отмечаем закрашенной точкой, 4 — пустой; выделяем участок между ними.

Ответ: [−3; 4). Это полуинтервал: −3 включено, а 4 исключено.

Задача 3. Для промежутка (−∞; 2] запишите условие на x и изобразите множество решений неравенства. Левая часть записи показывает, что промежуток не ограничен снизу, а число 2 является его конечной границей. Нужно определить, подходит ли сама граница и куда направить луч.

1. Числа в промежутке меньше 2, причём 2 тоже входит из-за квадратной скобки; получаем x ≤ 2.
2. У −∞ ставим круглую скобку, так как бесконечность не является числом и не включается.
3. На оси ставим у 2 закрашенную точку, проводим линию влево и заканчиваем её стрелкой.

Ответ: x ≤ 2. На оси изображён луч, направленный влево от закрашенной точки 2.

Типичные ошибки

Путать круглую и квадратную скобки — значит неверно указать, входят ли граничные числа. Так бывает, если запомнить форму записи, но не связать её со знаками неравенства. Проверь себя подстановкой границы: при строгом знаке она не подходит и нужна круглая скобка, при знаке ≤ или ≥ подходит квадратная.

Квадратная скобка у бесконечности ошибочна, потому что бесконечность не является числом и не может быть элементом множества. Её иногда воспринимают как далёкую конечную границу и по привычке включают. Проверка простая: у −∞ и +∞ всегда должны стоять круглые скобки.

Если переставить границы местами или направить луч не туда, получится другое множество чисел. Это случается, когда не проверяют порядок чисел или смотрят только на вид скобки. Сначала расположи конечные границы по возрастанию, а для луча реши, какие числа удовлетворяют условию: меньше заданного числа или больше него.

Отрезок вместо полуинтервала (или наоборот) меняет принадлежность одного из концов. Ошибка возникает, когда обе скобки выбирают по одному знаку, не проверив вторую границу. Сверь каждую скобку с соответствующим знаком двойного неравенства: включённому концу соответствует ≤ или ≥, исключённому — < или >.

Связь с другими темами

Для работы с промежутками нужно уметь сравнивать рациональные числа и располагать их на числовой оси. Также важно понимать, чем знаки < и > отличаются от ≤ и ≥. Эти навыки помогают определить порядок границ и решить, входят ли они в промежуток.

Промежутки позволяют записывать решения неравенств компактно: вместо перечисления всех подходящих чисел указывают их границы. Они пригодятся и при задании области допустимых значений выражения — множества значений переменной, при которых выражение имеет смысл. Поэтому связь между неравенствами и промежутками используется во многих следующих задачах алгебры.

Что запомнить

• Круглая скобка означает, что граница не входит в промежуток.
• Квадратная скобка означает, что граница входит в промежуток.
• Интервал соответствует строгому двойному неравенству.
• Отрезок включает обе конечные границы.
• В полуинтервале включена только одна из двух границ.
• У луча одна конечная граница; у бесконечности всегда круглая скобка.