§ 5. Почленное сложение и умножение неравенств

Определения и обозначения

Неравенства одного направления — неравенства с одинаково направленными знаками, например a > b и c > d или a < b и c < d. Это условие позволяет объединить сравнения так, чтобы общий порядок чисел не противоречил сам себе. Перед сложением или умножением удобно сначала проверить именно направление знаков.

Почленное сложение неравенств — сложение левых частей между собой и правых частей между собой. Например, для a > b и c > d получаем a + c > b + d. Такой приём нужен, когда требуется оценить сумму двух чисел или выражений.

Почленное умножение неравенств — умножение левых частей между собой и правых частей между собой. Правило применяют к неравенствам одного направления, если все их части положительны. Проверка этого условия помогает не перепутать порядок произведений.

Положительные числа — числа, которые больше нуля; для них пишут, например, a > 0. Их знак важен при умножении: умножение на положительное число сохраняет направление неравенства. Поэтому перед почленным умножением нужно убедиться, что положительны все сравниваемые части.

Как это устроено

Пусть a > b и c > d. Тогда a − b > 0 и c − d > 0: каждое большее число отличается от меньшего на положительную величину. При сложении неравенств получаем разность новых частей: (a + c) − (b + d) = (a − b) + (c − d). Сумма двух положительных чисел положительна, значит, a + c > b + d; знак исходных неравенств сохраняется.

Если направления разные, например a > b, но c < d, то одна разность положительна, а другая отрицательна. Их сумма может быть как положительной, так и отрицательной — это зависит от величины разностей. Поэтому одних исходных сравнений недостаточно, чтобы установить знак суммы новых частей. Нельзя применять правило для одного направления и уверенно записывать итоговый знак.

Для умножения представим исходные сравнения как a > b > 0 и c > d > 0. Сначала умножаем a > b на положительное c: при умножении обеих частей на положительное число порядок сохраняется, поэтому ac > bc. Затем из c > d умножением на положительное b получаем bc > bd; вместе эти шаги дают ac > bd.

Положительность здесь нужна не для удобства записи, а для сохранения порядка при умножении. Если сравнение умножить на отрицательное число, большее произведение может стать меньшим: например, из 3 > 2 следует −6 < −4 после умножения на −2. При неизвестных знаках нельзя заранее определить, сохраняется ли направление. Значит, без проверки знаков правило почленного умножения применять нельзя.

Для строгих неравенств знак сохраняется и в направлении «меньше»: если a < b и c < d, то a + c < b + d. Для умножения положительных частей рассуждение работает так же: из 0 < a < b и 0 < c < d следует ac < bd. В обоих случаях важно сопоставлять левые части с левыми, а правые — с правыми, не переставляя их местами.

Почленное сложение и умножение неравенств

Таблица помогает быстро выбрать правило: сначала проверь направление знаков, а для произведения — ещё и положительность частей. Затем сопоставь исходные левые части друг с другом и правые с правыми. Если необходимое условие не выполнено, вывод по этому правилу делать нельзя.

Разбор задач

Задача 1. Известно, что 8 > 5 и 6 > 2. Сложите неравенства почленно. Оба знака направлены одинаково, поэтому можно сложить левые части между собой и правые части между собой. Такой порядок действий сохраняет верное сравнение.

1. Проверяем знаки исходных неравенств: в обоих стоит «>», значит, они одного направления. Это разрешает почленное сложение. Складывать нужно соответствующие части, а не числа в произвольном порядке.
2. Складываем левые части: 8 + 6 = 14. Отдельно складываем правые части: 5 + 2 = 7. Так как исходный порядок был одинаковым, записываем 14 > 7.

Ответ: 14 > 7.

Задача 2. Дано 3 < x < 7 и 2 < y < 5. Найдите границы для x + y. Каждая запись задаёт нижнюю и верхнюю границы одной переменной. Все знаки направлены так, чтобы отдельно сложить нижние оценки и отдельно верхние.

1. Берём нижние границы: x больше 3, а y больше 2. Складываем их и получаем x + y > 3 + 2, то есть x + y > 5. Здесь используются именно две нижние оценки.
2. Теперь складываем верхние границы: x меньше 7, а y меньше 5. Получаем x + y < 7 + 5, то есть x + y < 12. Вместе эти результаты дают 5 < x + y < 12.

Ответ: 5 < x + y < 12.

Задача 3. Дано 2 < x < 4 и 3 < y < 6. Найдите границы для xy. Чтобы перемножать оценки этим правилом, сперва нужно проверить положительность всех границ. Здесь числа 2, 4, 3 и 6 больше нуля, поэтому порядок при умножении сохраняется.

1. Перемножаем нижние оценки: из x > 2 и y > 3, при положительности множителей, следует xy > 2 · 3. Нижняя граница произведения равна 6. Это даёт оценку снизу для xy.
2. Перемножаем верхние оценки: x < 4 и y < 6, причём обе величины положительны. Получаем xy < 4 · 6, то есть xy < 24. Соединяем обе оценки в двойное неравенство.

Ответ: 6 < xy < 24.

Типичные ошибки

Ошибка: складывать неравенства разных направлений так, будто они однонаправленные. Такое случается, когда ученик ориентируется только на сам факт сложения частей и не проверяет знаки. Но разности могут иметь разные знаки, поэтому знак результата не гарантирован. Для самопроверки сравни направления исходных неравенств до вычислений.

Ошибка: перемножать неравенства, не проверив положительность частей. Иногда кажется, что раз исходные записи похожи, можно сразу перемножить их. Однако умножение на отрицательное число меняет знак, а при неизвестных знаках порядок произведений может быть разным. Проверь отдельно знак каждой части; если условие не выполнено, не используй это правило автоматически.

Ошибка: перемножить только левые или только правые части. Например, записать произведение левых частей, но забыть, с чем сравнивать его справа. Почленное действие требует двух результатов: слева перемножаются левые части, справа — правые. Перед ответом проверь, что в записи есть обе пары и они составлены в правильном порядке.

Ошибка: менять знак неравенства при сложении. Это часто происходит из-за смешения правил сложения и умножения на отрицательное число. При сложении неравенств одного направления знак сохраняется, потому что складываются положительные разности. Проверь результат через вычитание: разность левой и правой частей должна иметь знак, соответствующий записанному сравнению.

Связь с другими темами

Для применения правил нужны знания о смысле знаков «больше» и «меньше», сравнении чисел и сложении положительных чисел. Если понимать, что означает положительная разность, становится понятнее, почему знак сохраняется при сложении однонаправленных неравенств. А знание о влиянии знака множителя помогает правильно действовать при умножении.

Почленное сложение и умножение помогают оценивать выражения, то есть находить числа, между которыми лежит их значение. Например, известные границы для x и y дают границы для x + y или xy при подходящих условиях. Такие оценки полезны, когда нужно определить возможный диапазон значений, не вычисляя конкретное значение переменных.

Что запомнить

• Складывать почленно можно неравенства одного направления.
• При почленном сложении знак сохраняется.
• Для почленного умножения неравенства должны быть одного направления.
• При умножении все части неравенств должны быть положительными.
• При почленном умножении знак сохраняется.
• Перед применением правила проверь направление неравенств и знаки всех чисел.