§ 1. Параллелограмм и его свойства

Определения и обозначения

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Например, в параллелограмме ABCD стороны AB и CD параллельны, а стороны BC и AD тоже параллельны. Это определение позволяет узнать фигуру по расположению её сторон, а не по виду рисунка.

Стороны, имеющие общую вершину, называют соседними, а стороны, не имеющие общей вершины, — противоположными. Угол ABC образован лучами BA и BC, а угол CDA расположен напротив него. Такое разделение помогает точно понимать, какие элементы сравниваются в свойствах и в условии задачи.

Отрезок, соединяющий две противоположные вершины четырёхугольника, называется диагональю. У параллелограмма ABCD диагонали — AC и BD; если они пересекаются в точке O, то O является общей точкой этих отрезков. Это обозначение удобно, когда нужно записать, что диагонали делятся пополам: AO = OC и BO = OD.

Свойство — это факт, который верен для каждого параллелограмма, а признак — условие, по которому можно установить, что данный четырёхугольник является параллелограммом. Например, равенство противоположных сторон — свойство уже известной фигуры, но его можно использовать и как признак, если равенство сторон дано для четырёхугольника. Различие помогает не путать доказательство свойств с распознаванием фигуры.

Как это устроено

Противоположные стороны параллелограмма равны. Чтобы понять причину, проведём диагональ AC: она разделит фигуру на треугольники ABC и CDA. У них равны накрест лежащие углы при параллельных прямых, а сторона AC общая, поэтому треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, соответствующие стороны AB и CD, а также BC и AD равны.

Противоположные углы тоже равны, а соседние в сумме дают 180°. Это следует из правил для углов, полученных при пересечении параллельных прямых секущей: накрест лежащие углы равны, а внутренние односторонние — дополнительные. Поэтому, если один угол равен 70°, угол напротив него также равен 70°, а каждый соседний равен 180° − 70° = 110°. Так можно вычислить все углы, зная только один из них.

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. Рассмотрим треугольники AOB и COD: углы при точке O равны как вертикальные, а углы при параллельных сторонах равны как накрест лежащие. Кроме того, AB = CD, поскольку это противоположные стороны параллелограмма. Треугольники равны, следовательно, AO = OC и BO = OD.

Есть и признаки, позволяющие доказать, что четырёхугольник — параллелограмм. Если его противоположные стороны попарно параллельны, это прямо соответствует определению; если противоположные стороны попарно равны, равенство треугольников при проведённой диагонали помогает получить параллельность сторон. Ещё один признак: одна пара противоположных сторон равна и параллельна. Наконец, если диагонали четырёхугольника пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, равенство соответствующих треугольников показывает, что противоположные стороны параллельны.

Свойства и признаки параллелограмма

Таблица помогает различить, что уже можно использовать для параллелограмма, а что нужно проверить, чтобы доказать, что четырёхугольник им является. В каждой задаче сначала найди данное условие, затем сопоставь его с нужной строкой. Не применяй признак, если его условие выполнено не полностью.

Разбор задач

Задача 1. В параллелограмме ABCD угол A равен 68°. Найдите остальные углы. Прежде чем считать, определим отношения между углами: угол C противоположен углу A, а углы B и D соседние с ним. Значит, для ответа понадобятся равенство противоположных углов и сумма соседних углов.

1. Так как противоположные углы параллелограмма равны, ∠C = ∠A = 68°.
2. Соседние углы в сумме равны 180°, поэтому ∠B = 180° − 68° = 112°.
3. Углы B и D противоположные, следовательно, ∠D = ∠B = 112°.
4. Проверим: 68° + 112° + 68° + 112° = 360°, то есть сумма углов четырёхугольника верна.

Ответ: ∠B = 112°, ∠C = 68°, ∠D = 112°. Проверка полезна: если в вычислениях сумма четырёх углов не равна 360°, значит, где-то допущена ошибка.

Задача 2. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Известно, что AO = 7 см и BO = 4 см. Найдите длины диагоналей AC и BD. Здесь не требуется искать углы или стороны: достаточно заметить, что точка O делит каждую диагональ на две равные части.

1. По свойству диагоналей AO = OC, значит, OC = 7 см.
2. Вся диагональ AC состоит из отрезков AO и OC: AC = AO + OC = 7 + 7 = 14 см.
3. Аналогично BO = OD, поэтому OD = 4 см.
4. Диагональ BD равна сумме BO и OD: BD = 4 + 4 = 8 см.
5. Проверим, что складываем именно половины одной диагонали: AO с OC, а BO с OD.

Ответ: AC = 14 см, BD = 8 см. Обрати внимание: свойство говорит о равных половинах каждой диагонали, но не о равенстве диагоналей друг другу. Поэтому из этих данных нельзя заключить, что AC = BD.

Типичные ошибки

Ошибка 1: считать, что любые стороны равны. В параллелограмме равны противоположные стороны, но соседние могут иметь разную длину. Такую ошибку легко допустить, если по рисунку фигура кажется ромбом; проверяй, какие именно стороны сопоставлены в условии.

Ошибка 2: путать противоположные и соседние углы. Противоположные углы равны, соседние дают 180°. Если два соседних угла получились одинаковыми, проверь вычисление: это возможно только при значении 90° для каждого.

Ошибка 3: считать, что диагонали равны или перпендикулярны. У обычного параллелограмма диагонали делятся пополам, но сами могут иметь разную длину и пересекаться не под прямым углом. Не добавляй к условию свойства прямоугольника или ромба; используй только то, что дано или доказано.

Ошибка 4: применять признак по неполному условию. Например, равенства только одной пары противоположных сторон недостаточно для вывода, что фигура — параллелограмм. Сверь данные со всей формулировкой признака и проверь каждое её требование.

Связь с другими темами

Свойства параллелограмма опираются на знания о параллельных прямых и углах, которые образуются при пересечении прямых секущей. Поэтому при вычислении углов полезно сначала найти равные накрест лежащие углы и пары внутренних односторонних углов. Доказательства свойств используют равенство треугольников: общую сторону, равные углы и соответствующие стороны. А при нахождении неизвестных длин сведения о равных отрезках превращаются в простые уравнения.

Что запомнить

• Параллелограмм — четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами.
• Противоположные стороны и противоположные углы параллелограмма равны.
• Сумма соседних углов равна 180°.
• Диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
• Для доказательства, что четырёхугольник — параллелограмм, достаточно применить один из признаков и проверить все его условия.
• Не переноси на любой параллелограмм свойства прямоугольника или ромба.