"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Признаки параллелограмма помогают доказать, что данный четырёхугольник обладает этим свойством, даже если параллельность сторон не дана сразу. Для доказательства используют равенство сторон, сочетание равенства и параллельности одной пары сторон или деление диагоналей точкой пересечения пополам. Главный инструмент рассуждений — равенство треугольников.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Признак параллелограмма: если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник является параллелограммом. Для ABCD это записывают так: AB = CD и BC = AD. Такой признак нужен, когда в условии даны длины сторон, но параллельность ещё не доказана.
Второй признак утверждает: если одна пара противоположных сторон четырёхугольника равна и параллельна, то четырёхугольник является параллелограммом. Например, AB = CD и AB ∥ CD. Одновременное выполнение двух условий важно: одно даёт равенство углов, другое — равенство сторон.
Третий признак связан с диагоналями: если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом. Если AC и BD пересекаются в O, условие записывают так: AO = OC и BO = OD. Оно позволяет доказать параллельность сторон через равенство треугольников.
Четырёхугольник обозначают последовательными буквами его вершин: ABCD, а его диагонали — отрезки AC и BD. Равенство отрезков записывают, например, AB = CD, а параллельность сторон — AB ∥ CD. При доказательстве нужно точно указывать, какие стороны, углы и диагональные отрезки сравниваются.
Пусть в ABCD противоположные стороны попарно равны: AB = CD и BC = AD. Проведём диагональ AC; получатся треугольники ABC и CDA, у которых одна сторона AC общая, а две другие пары сторон равны. По трём сторонам треугольники равны, поэтому равны накрест лежащие углы BAC и DCA, а также BCA и DAC. Следовательно, AB ∥ CD и BC ∥ AD, значит, ABCD — параллелограмм.
Теперь дана одна пара равных и параллельных сторон: AB = CD и AB ∥ CD. Проведём диагональ AC. Из параллельности следует равенство накрест лежащих углов BAC и DCA, сторона AC общая, а стороны AB и CD равны. Треугольники ABC и CDA равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому равны углы BCA и DAC. Эти углы накрест лежащие, значит, BC ∥ AD, и четырёхугольник является параллелограммом.
Пусть диагонали AC и BD пересекаются в O, причём AO = OC и BO = OD. Рассмотрим треугольники AOB и COD: две пары их сторон равны, а углы AOB и COD вертикальные, поэтому треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда следуют равенства накрест лежащих углов, дающие AB ∥ CD. Аналогично сравнение треугольников AOD и COB даёт AD ∥ BC.
Выбирать признак нужно по данным задачи. Две пары равных противоположных сторон означают первый признак, равные и параллельные стороны одной пары — второй, а равенства AO = OC и BO = OD — третий. Если в условии встречается только одна подходящая часть признака, делать вывод о параллелограмме пока нельзя.
Доказательство удобно строить по одной схеме: сначала записать, что дано и что требуется доказать, затем провести диагональ или выделить треугольники с вершиной в O. После этого указать равные элементы и признак равенства треугольников. В конце нужно явно назвать признак параллелограмма и сформулировать вывод.
В таблице сначала найди сведения, которые уже есть в условии, а затем сопоставь их с первой колонкой. Вторая колонка показывает, какой вывод получится после доказательства. Третья напоминает основной ход рассуждения.
| Данные о четырёхугольнике | Что доказывают | Основная идея обоснования |
|---|---|---|
| Противоположные стороны попарно равны | Четырёхугольник — параллелограмм | Равенство треугольников после проведения диагонали |
| Одна пара противоположных сторон равна и параллельна | Четырёхугольник — параллелограмм | Равенство треугольников по стороне и углам |
| Диагонали точкой пересечения делятся пополам | Четырёхугольник — параллелограмм | Равенство треугольников и вывод о параллельности сторон |
В четырёхугольнике ABCD AB = CD и BC = AD. Докажем, что ABCD — параллелограмм. Здесь даны две пары равных противоположных сторон, поэтому подходит первый признак.
Ответ: ABCD является параллелограммом, потому что его противоположные стороны попарно равны.
В четырёхугольнике ABCD AB ∥ CD и AB = CD. Нужно доказать, что ABCD — параллелограмм. Равенство и параллельность одной пары противоположных сторон сразу подсказывают второй признак.
Ответ: ABCD является параллелограммом по признаку равенства и параллельности одной пары противоположных сторон.
Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в O; AO = OC и BO = OD. Нужно проверить признак по диагоналям. Равенства показывают, что точка O делит обе диагонали пополам.
Ответ: ABCD — параллелограмм, так как его диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Ошибка: считать достаточным равенство только одной пары противоположных сторон. Её допускают, потому что путают первый признак с более сильным условием второго признака. Проверь себя: для равенства сторон должны быть указаны обе пары — AB = CD и BC = AD.
Ошибка: забывать о параллельности в условии второго признака. Равенство AB = CD само по себе не заменяет условие AB ∥ CD. Перед выводом проверь наличие сразу двух записей: равенства и параллельности одной пары.
Ошибка: говорить, что диагонали делятся пополам, проверив только одну пару отрезков. Равенство AO = OC ещё не означает BO = OD. Для третьего признака нужны оба равенства, относящиеся к обеим диагоналям.
Ошибка: объявлять фигуру параллелограммом сразу после доказательства равенства треугольников. Само равенство треугольников — только промежуточный шаг. Нужно показать равенство накрест лежащих углов, сделать вывод о параллельности сторон и назвать применённый признак.
Для понимания признаков нужны определение параллелограмма, свойства параллельных прямых и понятие накрест лежащих углов. Также пригодятся признаки равенства треугольников, особенно по трём сторонам и по стороне и прилежащим углам. Без этих знаний трудно объяснить, откуда берётся параллельность сторон.
Признаки применяют в задачах, где требуется распознать параллелограмм по известным данным. После такого доказательства можно использовать свойства параллелограмма: равенство противоположных сторон и углов, а также деление диагоналей пополам. Это помогает находить неизвестные элементы и строить дальнейшее доказательство.
Чем признак параллелограмма отличается от его свойства?
Свойство известно после того, как доказано, что фигура является параллелограммом. Признак, наоборот, позволяет по данным о сторонах или диагоналях установить, что четырёхугольник — параллелограмм.
Достаточно ли равенства одной пары противоположных сторон?
Нет, одного равенства недостаточно: такой четырёхугольник может не быть параллелограммом. Для первого признака нужны две пары равных противоположных сторон, а для второго — равенство и параллельность одной пары.
Почему для одной пары сторон нужно одновременно равенство и параллельность?
Параллельность даёт равенство накрест лежащих углов, а равенство сторон позволяет применить признак равенства треугольников. Только вместе эти условия приводят к параллельности второй пары сторон.
Как доказать признак параллелограмма по диагоналям?
Если диагонали пересекаются и каждая делится точкой пересечения пополам, сравнивают треугольники по двум равным отрезкам диагоналей и вертикальным углам. Равенство треугольников даёт равенство накрест лежащих углов, а значит, параллельность противоположных сторон.
Какой признак выбрать, если в условии даны диагонали?
Выбирайте признак по диагоналям, если точка их пересечения делит обе диагонали пополам: AO = OC и BO = OD. Если такого равенства нет, одних сведений о диагоналях недостаточно для этого признака.
§ 2. Признаки параллелограмма
