§ 3. Площадь параллелограмма

Определения и обозначения

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Значит, каждая пара противоположных сторон не пересекается, даже если продолжить их. Это определение помогает отличить параллелограмм от других четырёхугольников и понять, какие стороны в нём можно выбрать для вычислений.

Основание параллелограмма — сторона, выбранная для вычисления площади. Основанием может стать любая сторона, поэтому его часто обозначают буквой a, а при выборе другой стороны — буквой b. Выбор основания нужен, чтобы определить, к какой стороне проводить высоту и какие величины подставлять в формулу.

Высота параллелограмма — перпендикуляр, проведённый из вершины к прямой, содержащей основание. Перпендикуляр пересекает основание или его продолжение под прямым углом. Высоту обозначают h; она показывает расстояние между параллельными прямыми, на которых лежат основание и противоположная ему сторона.

Площадь параллелограмма — величина, показывающая, сколько единичных квадратов содержится в его внутренней области. Её обычно обозначают S и выражают в квадратных единицах, например в см². Понятие площади позволяет сравнивать фигуры и решать задачи о том, сколько места они занимают.

Как это устроено

Площадь параллелограмма можно понять через площадь прямоугольника. Если отрезать у параллелограмма треугольник у наклонного края и перенести его к противоположной стороне, получится прямоугольник. Перенос не добавляет и не убирает части фигуры, поэтому площадь сохраняется. У полученного прямоугольника одна сторона равна основанию параллелограмма, а другая — расстоянию между его параллельными сторонами, то есть высоте.

Площадь прямоугольника равна произведению его соседних сторон. После преобразования эти стороны равны основанию a и высоте h исходного параллелограмма, поэтому S = ah. Например, если основание измерено в сантиметрах, а высота — тоже в сантиметрах, произведение получится в квадратных сантиметрах. Формула применима только к паре «основание и высота», относящейся друг к другу.

Высота должна быть перпендикулярна основанию, потому что именно она задаёт расстояние между параллельными сторонами. Наклонная боковая сторона проходит от одной вершины к другой, а не показывает кратчайшее расстояние между прямыми. Если умножить основание на эту сторону, получится верный ответ только в частном случае, когда сторона перпендикулярна основанию. Поэтому при вычислении нужно искать прямой угол.

Любую сторону параллелограмма разрешается выбрать основанием: фигура от этого не меняется, меняется только способ её измерить. Если за основание взять сторону a, нужна высота hₐ, перпендикулярная a; если взять сторону b, нужна высота hᵦ, перпендикулярная b. В обоих случаях произведение даёт одну и ту же площадь: a · hₐ = b · hᵦ. Нельзя сочетать одну сторону с высотой, проведённой к другой стороне.

Площадь записывают в квадратных единицах, потому что при умножении двух длин перемножаются и их единицы: см · см = см². Перед вычислением полезно привести основание и высоту к одним единицам, например обе величины выразить в сантиметрах. После умножения укажи квадратную единицу, а не просто сантиметры или метры. Если нужно перевести результат, помни: 1 м² = 10 000 см².

Формулы площади параллелограмма при выборе разных оснований

Сначала найди в условии выбранное основание, затем отыщи высоту, которая образует с ним прямой угол. Подставь именно эту пару величин в формулу. Если известны площадь и одна из длин, формулу можно преобразовать и найти неизвестное.

Разбор задач

Задача 1. Основание параллелограмма равно 8 см, а высота, проведённая к нему, равна 5 см. Найдите площадь. Здесь уже дана подходящая пара величин: высота проведена именно к основанию 8 см, поэтому достаточно применить формулу площади.

1. Запишем формулу: S = ah.
2. Подставим данные: S = 8 · 5.
3. Вычислим произведение: S = 40 см². Квадратные сантиметры указывают, что найдена площадь, а не длина.

Ответ: 40 см².

Задача 2. Площадь параллелограмма равна 54 см², а его основание — 9 см. Найдите высоту, проведённую к этому основанию. Неизвестна высота, поэтому из формулы S = ah нужно выразить h, разделив обе части на a. Делить основание на площадь нельзя: это не соответствует преобразованию исходной формулы.

1. Выразим высоту: h = S / a.
2. Подставим значения: h = 54 / 9.
3. Вычислим: h = 6 см. Единицы площади делятся на единицы длины, поэтому результат измеряется в сантиметрах.

Ответ: 6 см.

Задача 3. Стороны параллелограмма равны 10 см и 6 см, высота к стороне 10 см равна 4 см. Найдите площадь и высоту к стороне 6 см. Сначала используем известные основание 10 см и высоту 4 см, чтобы получить площадь. Затем для второй высоты применим ту же площадь, но уже с основанием 6 см.

1. Найдём площадь по стороне 10 см: S = 10 · 4 = 40 см².
2. Обозначим высоту к стороне 6 см через h и запишем 40 = 6h.
3. Разделим площадь на основание: h = 40 / 6 = 20/3 см, или 6⅔ см. Проверка: 6 · 20/3 = 40 см².

Ответ: площадь — 40 см², высота к стороне 6 см — 20/3 см.

Типичные ошибки

Умножают две соседние стороны. Так делают, принимая наклонную боковую сторону за высоту, как в прямоугольнике. Но у параллелограмма соседние стороны могут не образовывать прямой угол. Проверь, что между множителями есть прямой угол: один должен быть основанием, другой — высотой к нему.

Берут высоту, проведённую к другой стороне. Ошибка возникает, когда высоты к разным основаниям не различают или не проверяют, откуда и куда проведён перпендикуляр. Например, основание a нельзя умножать на hᵦ, если hᵦ перпендикулярна стороне b. Для проверки назови вслух пару: «основание такое-то, высота к нему такая-то».

Записывают площадь в единицах длины. Это случается, если после вычисления произведения забывают, что умножались две длины. Сантиметры на сантиметры дают квадратные сантиметры, поэтому ответ 40 см для площади неверен. Проверь единицу отдельно от числа: у площади должна быть квадратная единица, например см².

При нахождении высоты делят основание на площадь. Такую ошибку допускают, неверно переставляя величины в формуле S = ah. Чтобы найти h, нужно разделить обе части равенства на a, поэтому h = S / a. Проверь результат подстановкой: основание, умноженное на найденную высоту, должно дать исходную площадь.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определение параллелограмма, умение распознавать перпендикулярные прямые и знание единиц длины и площади. Формула S = ah опирается на формулу площади прямоугольника: параллелограмм можно преобразовать в прямоугольник без изменения площади. Позже тот же подход к площадям пригодится при изучении треугольника, трапеции и составных фигур. Перенос части фигуры показывает, как геометрическое преобразование может сохранять площадь.

Что запомнить

• Площадь параллелограмма равна произведению основания на соответствующую высоту.
• Формула площади: S = ah.
• Высота всегда перпендикулярна основанию.
• Любую сторону можно выбрать основанием.
• К выбранному основанию берут только соответствующую высоту.
• Площадь измеряют в квадратных единицах.
• При одинаковом основании большая высота даёт большую площадь.