§ 4. Центральная симметрия

Определения и обозначения

Центральная симметрия — преобразование, при котором каждой точке A соответствует точка A′ так, что центр O является серединой отрезка AA′. Буква O обозначает центр, а штрих у A′ показывает образ точки A. Это правило позволяет однозначно строить новые точки и фигуры.

Центр симметрии — точка O, относительно которой рассматривают центральную симметрию. Она остаётся на месте при преобразовании. Центр нужен как точка отсчёта: именно от него откладывают одинаковые расстояния в противоположные стороны.

Симметричные точки — точки A и A′, для которых O — середина отрезка AA′. Значит, точки лежат на одной прямой, а OA = OA′. Если точка совпадает с O, она переходит сама в себя.

Центрально-симметричная фигура — фигура, которая при симметрии относительно некоторого центра переходит сама в себя. У такой фигуры каждая точка имеет соответствующую точку внутри той же фигуры. Это свойство помогает распознавать симметрию и доказывать геометрические факты.

Как это устроено

Чтобы построить образ точки A, сначала проводят прямую AO: образ обязан лежать на ней, потому что O должен быть серединой AA′. Затем за центром, с другой стороны от O, откладывают отрезок OA′, равный OA. Равенство расстояний от центра гарантирует, что середина отрезка AA′ действительно находится в точке O.

Центральная симметрия равносильна повороту на 180° вокруг центра. При таком повороте луч OA разворачивается в противоположный луч, но его длина не меняется. Поэтому точка A′ лежит на той же прямой, что A и O, однако находится по другую сторону от центра.

Поворот не растягивает и не сжимает фигуру, а только меняет положение её точек. Поэтому расстояние между любыми двумя точками сохраняется, как сохраняется и величина угла между соответствующими отрезками. Образ отрезка равен исходному отрезку, а образ фигуры имеет те же размеры и форму.

Если прямая проходит через O, каждая её точка после поворота остаётся на той же прямой, поэтому прямая переходит в себя. Если прямая через центр не проходит, её точки перемещаются на противоположную сторону, и образ получается параллельным исходной прямой. Фигура может иметь один или несколько центров симметрии: это проверяют сравнением фигуры с её образом.

Образы точек и фигур при центральной симметрии

Сначала найдите объект в левом столбце, а затем примените указанное правило. Для сложной фигуры достаточно построить образы её основных точек, например вершин, и соединить их в том же порядке.

Таблица также помогает отличить свойства самой фигуры от свойств её положения. Например, отрезок всегда сохраняет длину, но его образ может оказаться в другом месте.

Разбор задач

Задача 1. Построение образа точки

Условие: Постройте точку A′, симметричную точке A относительно точки O.

1. Проведите прямую через A и O.
2. Определите луч, противоположный лучу OA, с началом в O.
3. На этом луче отложите OA′ = OA. Полученная точка и есть A′, потому что O находится между A и A′.

Ответ: точка A′ построена так, что O — середина AA′.

Задача 2. Образ треугольника

Условие: Постройте фигуру, симметричную треугольнику ABC относительно точки O.

1. Постройте A′ на прямой AO так, чтобы OA′ = OA.
2. Аналогично постройте B′ и C′: для каждой вершины центр O должен быть серединой соответствующего отрезка.
3. Соедините точки A′, B′ и C′. Получится треугольник A′B′C′, образ исходного треугольника.

Ответ: симметричная фигура — треугольник A′B′C′. Он равен треугольнику ABC, поскольку центральная симметрия сохраняет длины и углы.

Задача 3. Диагонали параллелограмма

Условие: Докажите, что диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O и делятся ею пополам; объясните связь с центральной симметрией.

1. Пусть диагонали AC и BD пересекаются в O. В параллелограмме противоположные стороны попарно параллельны и равны.
2. Из свойств параллелограмма следует, что противоположные вершины расположены относительно O одинаково: OA = OC и OB = OD.
3. Точки A и C лежат на одной прямой по разные стороны от O, как и B и D. Значит, O — середина AC и BD.
4. Следовательно, A и C, а также B и D — симметричные точки относительно O.

Ответ: диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, а эта точка является центром его центральной симметрии.

Типичные ошибки

Иногда равное расстояние откладывают от точки A, а не от центра O. Так появляется неверное условие: нужно сравнивать OA и OA′. Проверьте себя линейкой: O должен быть серединой AA′.

Другая ошибка — размещать образ на той же стороне от центра. Если A не совпадает с O, точки A и A′ обязаны находиться по разные стороны от O. Проведите прямую AA′ и убедитесь, что O расположен между точками.

Центральную симметрию также путают с отражением относительно прямой. При центральной симметрии задаётся одна точка O, а не ось; удобная проверка — представить поворот на 180° вокруг центра.

Наличие параллельных сторон ещё не доказывает центральную симметрию фигуры. Нужно проверить образ всех частей фигуры относительно одного центра и убедиться, что он полностью совпадает с исходной фигурой.

Связь с другими темами

Для построений нужно уметь находить середину отрезка и пользоваться равенством отрезков. Центральная симметрия объясняет важное свойство параллелограмма: его диагонали пересекаются и делятся пополам. Позже это преобразование пригодится при изучении фигур, геометрических построений и координатной плоскости, где образ точки можно находить по координатам.

Что запомнить

• При центральной симметрии центр является серединой отрезка, соединяющего точку и её образ.
• Точка, совпадающая с центром симметрии, переходит сама в себя.
• Центральную симметрию можно представить как поворот на 180° вокруг центра.
• Центральная симметрия сохраняет длины и величины углов.
• Прямая через центр переходит в себя, а прямая вне центра — в параллельную.
• Фигура центрально-симметрична, если совпадает со своим образом при симметрии относительно некоторой точки.