"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Нестрогое неравенство сравнивает два выражения знаками ≤ или ≥ и допускает, что они равны. Такие неравенства помогают описывать не одно значение, а целый набор подходящих значений переменной. При решении важно сохранять множество ответов: прибавлять одно и то же число к обеим частям, учитывать направление знака при умножении и не исключать граничные значения, где части становятся равны.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Нестрогое неравенство — это сравнение двух выражений с помощью знака ≤ или ≥; при этом выражения могут быть равны. Например, 3 ≤ 3 — верное нестрогое неравенство, а 3 < 3 — неверное. Нестрогий знак нужен, когда допустима не только строгая разница между величинами, но и их совпадение.
Запись a ≤ b означает, что левая часть a меньше правой части b или равна ей. Запись a ≥ b означает, что левая часть a больше b или равна ей. Понимание направления знака помогает верно читать условие и выбирать, какие значения переменной ему подходят.
Решением неравенства называют значение переменной, при котором после подстановки получается верное высказывание. Например, для x ≤ 5 подходят числа 5, 0 и −2, но не подходит 6. Множество всех подходящих значений называют множеством решений; оно показывает полный ответ, а не только отдельный пример.
Равносильные неравенства — это неравенства с одним и тем же множеством решений. Например, x + 2 ≤ 7 и x ≤ 5 равносильны, поскольку оба верны ровно при x ≤ 5. Это понятие позволяет преобразовывать неравенство так, чтобы его было проще решить, не меняя ответа.
Строгие знаки < и > не допускают равенства: если части совпали, строгое сравнение неверно. Знаки ≤ и ≥ включают этот случай, поэтому при решении нельзя автоматически заменять их строгими. Граничное значение часто получается там, где левая и правая части равны, и оно может быть частью множества решений.
Если к обеим частям прибавить одно и то же число, их взаимное расположение не изменится. Например, если a ≤ b, то к обоим можно прибавить c: число, которое было не больше другого, останется не больше него после одинакового сдвига. Поэтому можно переносить слагаемые, прибавляя противоположное число к обеим частям; знак при этом сохраняется.
Умножение на положительное число растягивает числовую прямую, но не меняет порядок чисел: из 2 ≤ 5 следует 6 ≤ 15. Деление на положительное число действует аналогично, поэтому знак остаётся прежним. Отрицательное число отражает числа относительно нуля и переворачивает порядок: из 2 ≤ 5 следует −2 ≥ −5, значит, при умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак нужно заменить на противоположный.
Если два неравенства направлены одинаково, их можно сложить почленно: например, из a ≤ b и c ≤ d следует a + c ≤ b + d. Причина в том, что каждая левая часть не превосходит соответствующую правую, а сумма таких сравнений сохраняет порядок. Равенство в одном или обоих исходных неравенствах не мешает выводу, поэтому итоговый знак тоже нестрогий.
Преобразование допустимо, если после него остаются те же решения, то есть неравенства равносильны. Это проверяют по правилам: одинаковое действие над обеими частями сохраняет сравнение, а деление или умножение на отрицательное число требует смены знака. Если действие зависит от переменной, например умножение на выражение, знак которого неизвестен, сначала нужно выяснить его знак и рассмотреть возможные случаи.
| Действие | Условие | Результат |
|---|---|---|
| Прибавление одного числа к обеим частям | К обеим частям прибавлено одно и то же число | Направление знака сохраняется |
| Умножение или деление на положительное число | Число больше нуля | Направление знака сохраняется |
| Умножение или деление на отрицательное число | Число меньше нуля | Знак меняется на противоположный |
| Сложение неравенств одного направления | Знаки направлены одинаково | Складывают соответствующие части, направление сохраняется |
Перед применением правила сначала проверьте его условие: особенно важно определить знак числа, на которое выполняется умножение или деление. В последнем случае складывают левые части между собой и правые части между собой. Таблица помогает выбрать преобразование, не потеряв направление сравнения и включённую границу.
Ответ: x ≤ 5, или промежуток (−∞; 5].
Ответ: x ≤ −4, или промежуток (−∞; −4]. Проверка: при x = −5 имеем 15 ≥ 12, а при x = 0 получаем 0 ≥ 12 — неверно.
Ответ: x ≤ 4, или промежуток (−∞; 4]. Проверка показывает, что множество решений включает граничное значение и не содержит числа, расположенные правее него.
При умножении или делении на отрицательное число иногда оставляют прежнее направление знака. Ошибка возникает из-за привычки выполнять арифметическое действие, не учитывая изменение порядка чисел. Проверьте правило на примере 2 ≤ 5: после умножения на −1 верно −2 ≥ −5, а не −2 ≤ −5.
Другая ошибка — заменить ≤ на < или ≥ на > и тем самым исключить равенство. Так поступают, когда не замечают, что граничная точка тоже может удовлетворять условию. Подставьте найденную границу в исходное неравенство: если части равны, нестрогий знак делает её решением.
Нельзя прибавлять число только к одной части, потому что тогда сравнение изменится не по правилу равносильного преобразования. Например, из x + 4 ≤ 9 нельзя просто убрать 4 слева, оставив правую часть прежней. Проверяйте, что одно и то же действие выполнено слева и справа, и записывайте его над обеими частями.
При записи ответа граничную точку могут включить неверно или обозначить на прямой незакрашенной. Это обычно происходит, когда знак неравенства не сопоставляют с обозначением промежутка. Для ≤ или ≥ равенство допускается: границу отмечают закрашенной точкой и включают квадратной скобкой.
Для решения неравенств нужно уметь сравнивать числа, преобразовывать выражения и решать линейные уравнения: эти навыки помогают упрощать обе части и выделять переменную. Нестрогие неравенства встречаются в системах, где нужно найти значения, удовлетворяющие нескольким условиям сразу, и при записи промежутков с включёнными границами. Правила преобразований похожи на правила для строгих неравенств, но знаки ≤ и ≥ требуют отдельно следить за случаем равенства.
Чем знак ≤ отличается от знака
Знак ≤ означает «меньше или равно», поэтому допускает равенство частей. Знак < означает только «меньше»: если части равны, такое неравенство неверно.
Почему при делении на отрицательное число знак неравенства меняется?
Деление на отрицательное число меняет порядок чисел на противоположный: например, из 2 < 5 следует −2 > −5. Поэтому при делении обеих частей на отрицательное число направление знака нужно перевернуть.
Можно ли прибавлять разные числа к левой и правой частям?
Обычно так делать нельзя: разные прибавления могут изменить сравнение и множество решений. Чтобы сохранить равносильность, к обеим частям прибавляют одно и то же число.
Как понять, включается ли граничное значение в ответ?
Если знак неравенства нестрогий, например ≤ или ≥, значение, при котором части равны, включается в ответ. На числовой прямой такую границу отмечают закрашенной точкой, а в записи промежутка используют квадратную скобку.
Как проверить, что преобразование неравенства не изменило множество решений?
Пользуйтесь правилами, сохраняющими равносильность: выполняйте одно и то же сложение, а при умножении или делении учитывайте знак числа. Для проверки можно подставить граничное значение и несколько чисел из полученного ответа и вне его в исходное неравенство.
11.7. Нестрогие неравенства
