§ 12. Метод промежутков для уравнений и неравенств

Определения и обозначения

Метод промежутков — способ решать уравнения и неравенства, разбивая числовую прямую точками, в которых выражение обращается в ноль или не определено. Например, для произведения или дроби сначала находят такие точки, а затем исследуют знак между ними. Метод нужен, чтобы не подставлять множество значений переменной и систематически получить все решения.

Критические точки — нули выражения и точки, в которых оно не определено; они делят числовую прямую на промежутки. Корни числителя могут быть нулями дроби, а корни знаменателя — точками вне её области определения. Различать эти случаи необходимо, чтобы правильно включить граничные значения в ответ.

Числовой метод интервалов — схема, на которой отмечают критические точки, определяют знак выражения на промежутках и выбирают подходящие части прямой. Здесь слово «интервал» означает участок между соседними критическими точками, а не обязательно отрезок с включёнными концами. Схема упрощает решение: вместо проверки всех значений достаточно исследовать знак на каждом таком участке.

Как это устроено

Знак произведения или частного может измениться, только если один из множителей прошёл через ноль или выражение прошло через точку, где оно не определено. Если внутри участка прямая непрерывно меняющаяся величина не становится нулём, она не может перейти от положительной к отрицательной, не пройдя через ноль. Поэтому нули множителей и точки разрыва отделяют участки, внутри которых знак постоянен. Это и позволяет исследовать всё множество значений переменной по нескольким промежуткам.

Чтобы найти критические точки, сначала разложи выражение на множители, если это возможно. Для произведения приравняй каждый множитель к нулю; для дроби приравняй к нулю числитель и отдельно найди нули знаменателя. Корни числителя могут удовлетворять уравнению, а корни знаменателя необходимо исключить из области определения. Если выражение нельзя сразу разложить, сначала преобразуй его так, чтобы найти нули было удобно.

Расположи найденные точки на числовой прямой по возрастанию и раздели ими прямую на промежутки. Сами точки обозначай с учётом их природы: корень выражения возможен в ответе, а нуль знаменателя — нет. Точки нужно проверять отдельно, потому что знак выражения на соседних промежутках не говорит, определено ли оно на границе и обращается ли в ноль. Для строгого неравенства даже допустимый нуль не входит в ответ.

Чтобы определить знак на промежутке, можно подставить в исходное выражение любое удобное число из него. Знак в этой точке совпадает со знаком на всём промежутке, поскольку внутри нет критических точек. Другой способ — проследить знаки множителей и их произведения или частного. Если множитель обращается в ноль в корне чётной кратности, он сохраняет знак по обе стороны корня; при нечётной кратности знак меняется.

Для уравнения выбери критические точки, в которых выражение равно нулю, и проверь, не исключены ли они из области определения. Для неравенства оставь промежутки, где знак выражения соответствует условию: положительный для > 0, отрицательный для < 0. При знаках ≤ и ≥ добавь допустимые нули, а при строгих знаках не добавляй; точки, в которых выражение не определено, исключай всегда. Так схема превращается в ответ с правильно выбранными границами.

Этапы метода промежутков при решении уравнений и неравенств

Сначала приведи задачу к сравнению одного выражения с нулём, а затем найди и отметь критические точки. Для уравнения отбирай допустимые нули, для неравенства — участки с нужным знаком. В последнем шаге отдельно проверь границы: так не попадут в ответ запрещённые значения и не потеряются подходящие корни.

Разбор задач

Уравнение (x − 2)(x + 1) = 0

1. Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Поэтому рассматриваем уравнения x − 2 = 0 и x + 1 = 0.
2. Из первого получаем x = 2, из второго — x = −1. Ограничений на область определения нет, значит обе точки допустимы.
3. Уравнение не требует выбора промежутков нужного знака: его решения — найденные нули всего выражения. Записываем оба значения.

Ответ: x = −1 или x = 2. Проверка подстановкой показывает, что в каждом случае один из множителей равен нулю, а значит, нулю равно всё произведение. Других решений нет, потому что произведение двух чисел обращается в ноль только при нуле хотя бы одного множителя.

Неравенство (x − 3)(x + 2) ≤ 0

1. Найдём нули множителей: x = 3 и x = −2. Упорядочим их: −2 меньше 3, поэтому прямая делится на интервалы (−∞; −2), (−2; 3) и (3; +∞).
2. Проверим по одной точке: при x = −3 оба множителя отрицательны, произведение положительно; при x = 0 знаки разные, произведение отрицательно; при x = 4 оба множителя положительны, произведение положительно.
3. Нужно выбрать значения, при которых произведение не положительно. Это средний промежуток и оба его конца: в точках −2 и 3 произведение равно нулю, что допускает знак ≤.

Ответ: x ∈ [−2; 3]. Открытые концы промежутка не подходят, потому что в этих точках неравенство выполняется как равенство. На внешних промежутках произведение положительно, поэтому они в решение не входят.

Неравенство ((x − 1)(x + 2))/(x − 3) > 0

1. Нули числителя: x = 1 и x = −2; нуль знаменателя: x = 3. Последняя точка не входит в область определения, но делит прямую так же, как остальные критические точки.
2. Отмечаем точки в порядке −2, 1, 3. Проверяем знаки дроби в промежутках: при x = −3 дробь отрицательна, при x = 0 положительна, при x = 2 отрицательна, при x = 4 положительна.
3. Выбираем промежутки, на которых дробь положительна: (−2; 1) и (3; +∞). Нули числителя исключаем из-за строгого знака >, а x = 3 исключаем, потому что там знаменатель равен нулю.

Ответ: x ∈ (−2; 1) ∪ (3; +∞). Проверка границ подтверждает, что ни одна из трёх точек не подходит: при −2 и 1 дробь равна нулю, а при 3 не определена. На выбранных промежутках значения дроби положительны.

Типичные ошибки

В ответ иногда включают нуль знаменателя, потому что он отмечен на числовой прямой наравне с корнями числителя. Но в такой точке исходная дробь не определена, поэтому равенство или неравенство не имеет там смысла. Проверь каждую границу по области определения: если знаменатель равен нулю, точка всегда исключается.

Корень числителя могут включить или исключить, не посмотрев на знак неравенства. При ≤ и ≥ нули выражения подходят, если оно в этих точках определено; при строгих знаках они не подходят. Проверка проста: подставь граничное значение в выражение и сравни полученное равенство с условием задачи.

Бывает, что знаки на промежутках расставляют по очереди от одного корня, но исходный знак выбирают неверно. Тогда ошибочными окажутся все интервалы, даже если правило о смене знака применялось последовательно. Проверь знак подстановкой одного числа хотя бы в одном промежутке, например самого удобного целого.

Не всякий корень приводит к смене знака: знак множителя чётной степени по обе стороны корня одинаков. Ошибка возникает, если механически чередовать знаки после каждой критической точки. Учитывай кратность корня или проверяй точки в соседних промежутках подстановкой.

Связь с другими темами

Для метода промежутков нужно уметь раскладывать многочлены на множители и находить корни уравнений: так определяют границы участков. Также понадобятся правила знаков произведения и дроби, а при работе с дробями — знание области определения. Метод продолжает изучение рациональных выражений и применяется к другим неравенствам, которые можно свести к исследованию знака выражения. Освоив его, легче видеть, как отдельные множители определяют поведение всего выражения.

Что запомнить

• Критические точки — нули выражения и точки, где оно не определено.
• Критические точки делят числовую прямую на промежутки.
• На каждом промежутке знак выражения постоянен, если внутри нет критических точек.
• Для определения знака на промежутке достаточно проверить одну точку.
• Нули знаменателя всегда исключают из ответа.
• Граничные точки включают только тогда, когда это допускает знак неравенства и выражение в них определено.