11.6. Неравенства с дополнительными условиями

Определения и обозначения

Дополнительное условие — ограничение на переменные, которое должно выполняться одновременно с данным неравенством. Например, в записи x² − 5x + 6 ≥ 0 при 1 ≤ x ≤ 4 отрезок 1 ≤ x ≤ 4 является дополнительным условием. Оно отсекает значения, которые подходят основному неравенству, но не подходят задаче целиком.

Неравенство с дополнительными условиями — неравенство, решение которого ищут только среди значений, удовлетворяющих заданным ограничениям. Ограничения могут задавать промежуток, знак переменной, ОДЗ выражения или связь нескольких переменных. Такое уточнение меняет область поиска, но не отменяет необходимость решить само неравенство.

Допустимое множество решений — значения переменных, которые одновременно удовлетворяют неравенству и всем дополнительным условиям. Для одной переменной это обычно пересечение промежутков на числовой прямой. Именно это множество, а не решение отдельной части задачи, записывают в ответе.

Равносильность на множестве условий означает, что после преобразования сохраняется множество решений с учётом заданных ограничений. Например, выражения могут быть равны не для всех чисел, а только при x > 0. Поэтому при проверке преобразования учитывают не только алгебру, но и исходные условия.

Как это устроено

Решение неравенства с дополнительным условием получают пересечением двух множеств: решения основного неравенства и множества, заданного условием. Причина проста: подходящее значение должно пройти обе проверки одновременно. Поэтому сначала можно решить части по отдельности, а затем оставить только общие значения.

Дополнительное условие иногда позволяет установить знак выражения и безопасно умножить или разделить обе части неравенства. Например, из x > 0 следует, что x положителен, поэтому при умножении на x знак сохраняется. Если же знак множителя неизвестен, одно преобразование для всех значений может изменить направление неравенства в части случаев, поэтому разбирают случаи или используют другой способ.

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а аргумент логарифма — положительным. Эти ограничения образуют область допустимых значений, или ОДЗ, и их находят до преобразований. Иначе можно получить корень, который появился после умножения на нулевой знаменатель, или включить число, для которого исходное выражение вообще не определено.

Связь между переменными позволяет заменить одно выражение другим и уменьшить число неизвестных. Например, из x + y = 6 можно выразить y = 6 − x, а затем подставить это в неравенство. При этом исходную связь и ограничения x > 0, y > 0 нельзя забывать: после замены они определяют допустимые значения новой переменной.

При доказательстве неравенства с условиями ограничения используют на каждом шаге, а не только в начале. Удобный приём — рассмотреть разность левой и правой частей и представить её в виде квадрата или суммы неотрицательных выражений. Отдельно решают, когда эта разность равна нулю, и проверяют, допустимы ли найденные значения.

Решение неравенств с дополнительными условиями

Таблица помогает выбрать порядок действий в зависимости от вида условия. Во всех случаях итог нужно проверить по исходной записи и объединить все ограничения пересечением.

Разбор задач

1. Ограничение задано отрезком

Решим неравенство x² − 5x + 6 ≥ 0 при условии 1 ≤ x ≤ 4. Сначала найдём решение основного неравенства, а затем оставим только числа из заданного отрезка. Такой порядок не позволяет смешать условие задачи с промежуточным результатом.

1. Разложим трёхчлен: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
2. Нули множителей: x = 2 и x = 3. По методу интервалов произведение неотрицательно при x ≤ 2 или x ≥ 3.
3. Пересечём это множество с [1; 4]: получим [1; 2] ∪ [3; 4]. Концы 2 и 3 включены, поскольку в них выражение равно нулю.

Ответ: x ∈ [1; 2] ∪ [3; 4].

2. Дробь и отдельное условие

Решим (x − 1)/(x + 2) ≥ 0 при x² − 4x + 3 ≤ 0. Здесь сначала нужно исключить x = −2, потому что знаменатель исходной дроби не может обращаться в ноль. Затем решим оба неравенства и найдём их общую часть.

1. Дополнительное условие перепишем так: (x − 1)(x − 3) ≤ 0, значит x ∈ [1; 3].
2. Для дроби критические точки x = −2 и x = 1. Знак дроби неотрицателен на (−∞; −2) и [1; +∞); точка −2 исключается, а x = 1 включается.
3. Пересечение [1; +∞) и [1; 3] равно [1; 3]. Интервал (−∞; −2) с дополнительным условием общих точек не имеет.

Ответ: x ∈ [1; 3].

3. Доказательство при связи переменных

Пусть x > 0, y > 0 и x + y = 6. Докажем, что x² + y² ≥ 18, и найдём равенство. Связь x + y = 6 позволяет заменить сумму в тождестве, а положительность переменных подтверждает допустимость найденного случая.

1. Рассмотрим разность: x² + y² − 18 = x² + y² − 6(x + y) + 18.
2. Так как x + y = 6, удобнее использовать (x − y)² ≥ 0: x² + y² − 2xy ≥ 0.
3. Из (x + y)² = 36 следует x² + 2xy + y² = 36. Поэтому x² + y² = 36 − 2xy, а минимальное значение достигается при x = y.
4. При x = y и x + y = 6 получаем x = y = 3. Тогда x² + y² = 9 + 9 = 18.

Ответ: x² + y² ≥ 18; равенство достигается при x = y = 3.

Типичные ошибки

Решают только основное неравенство и забывают пересечь ответ с дополнительным условием. Так происходит, когда условие воспринимают как справочную информацию, а не как часть задачи. Проверьте себя: подставьте любой конец итогового промежутка в каждое из условий.

Умножают или делят неравенство на выражение неизвестного знака, не разбирая случаи. Ошибка возникает из-за привычки считать любое умножение равносильным, хотя отрицательный множитель меняет знак. Перед действием отдельно запишите, положителен, отрицателен или может быть равен нулю этот множитель.

Не исключают значения, при которых знаменатель равен нулю или выражение под корнем не имеет смысла. Часто сначала преобразуют выражение, а ОДЗ вспоминают в конце, когда недопустимое значение уже потеряно. Найдите ОДЗ до решения и сохраните его как отдельное условие до ответа.

Используют дополнительное условие в одном преобразовании, но затем записывают ответ для всех действительных значений. Причина — временная замена условия удобным равенством без контроля области действия. После решения вернитесь к исходным ограничениям и отфильтруйте все лишние значения.

Связь с другими темами

Для решения таких задач нужны системы неравенств, пересечение множеств, метод интервалов и правила преобразования неравенств. Эти навыки помогают рассматривать основное неравенство и ограничение как единую систему.

Также необходимо находить ОДЗ рациональных, иррациональных и логарифмических выражений. Без этого преобразования могут привести к решениям, не имеющим смысла в исходной задаче.

Тема используется в задачах с параметрами, ограничениями на переменные, системах уравнений и доказательстве алгебраических неравенств. Особенно полезна она там, где условие связывает несколько величин.

Что запомнить

• Дополнительное условие обязательно учитывать вместе с основным неравенством.
• Итоговое решение является пересечением всех полученных ограничений.
• Перед умножением или делением нужно установить знак множителя или делителя.
• ОДЗ находят до преобразований и сохраняют до конца решения.
• Связь между переменными можно использовать для замены выражений.
• В доказательстве отдельно указывают, при каких значениях достигается равенство.