11.5. Применение нескольких преобразований

Определения и обозначения

Преобразование графика функции — изменение положения или масштаба графика по заданному правилу. Например, исходную кривую можно передвинуть, растянуть или отразить. Это понятие нужно, чтобы строить графики новых функций без полного исследования каждой из них.

Параллельный перенос — сдвиг графика на заданное число единиц по горизонтали или вертикали без изменения его формы. При переносе вверх или вправо каждая точка получает новые координаты, но взаимное расположение точек сохраняется. Такой способ помогает быстро учитывать числа, добавленные к аргументу или значению функции.

Растяжение и сжатие графика — изменение его масштаба относительно оси или прямой. Растяжение увеличивает расстояния от выбранной оси, а сжатие уменьшает их. Эти преобразования позволяют понять действие множителей перед функцией и при аргументе.

Симметричное преобразование графика — отражение относительно оси координат или другой заданной прямой. При отражении меняется знак одной из координат, поэтому форма графика сохраняется, но его положение становится зеркальным. Это нужно учитывать при появлении минуса перед функцией или внутри аргумента.

Как это устроено

Прибавление числа вне аргумента меняет значение y каждой точки. Если точка исходного графика имеет координаты (x, f(x)), то у функции y = f(x) + b она становится точкой (x, f(x) + b). Горизонтальная координата не меняется, поэтому график сдвигается вдоль оси y на b единиц: вверх при b > 0 и вниз при b < 0.

Замена x на x − a действует иначе, потому что изменяет вход функции. Чтобы новое выражение f(x − a) дало прежнее значение f(x₀), нужно потребовать x − a = x₀, откуда x = x₀ + a. Значит, каждая точка перемещается вправо на a, хотя в формуле стоит знак минус; при записи x + a перенос будет влево.

Множитель перед функцией изменяет высоту точек: в y = kf(x) каждая координата y умножается на k. При |k| > 1 график растягивается по вертикали, а при 0 < |k| < 1 сжимается. Множитель при аргументе действует по горизонтали: в y = f(kx) прежнее значение аргумента получается при x, уменьшенном в |k| раз, поэтому при |k| > 1 график сжимается, а при |k| < 1 растягивается.

Знаки минус задают отражение. В формуле y = −f(x) у каждой точки меняется знак ординаты, поэтому отражение происходит относительно оси x. В формуле y = f(−x) меняется знак абсциссы, и график отражается относительно оси y.

При нескольких преобразованиях сначала выделяют каждое изменение: перенос, отражение или изменение масштаба. Затем определяют его направление и применяют к исходному графику последовательно, не смешивая множитель с той частью формулы, к которой он не относится. После этого полезно проверить несколько характерных точек подстановкой в итоговое выражение.

Преобразования графика y = f(x)

Таблицу удобно читать от исходной точки (x, y) на графике y = f(x). Для каждой строки определите новые координаты и перенесите несколько характерных точек, после чего соедините их с сохранением формы исходного графика.

Если параметр отрицательный, в преобразовании одновременно появляется отражение. Например, k < 0 в y = kf(x) означает вертикальное изменение масштаба и отражение относительно оси x.

Разбор задач

Задача 1. График модуля

Построим график y = |x − 2| + 1, используя y = |x|. Исходный график имеет вершину в точке (0, 0) и состоит из двух лучей. Нужно проследить, как числа внутри модуля и вне него меняют положение вершины.

1. В выражении |x − 2| заменяем x на x − 2, поэтому переносим график вправо на 2 единицы: вершина переходит в (2, 0).
2. Прибавление 1 вне модуля сдвигает полученный график вверх на 1 единицу.
3. Новая вершина имеет координаты (2, 1), а угол и направления лучей не меняются.

Ответ: график y = |x − 2| + 1 получается переносом y = |x| вправо на 2 и вверх на 1. Его вершина — точка (2, 1).

Задача 2. Синусоида

Построим график y = 2 sin x − 1 на промежутке от −2π до 2π. За основу берём y = sin x, у которого период равен 2π, а значения лежат от −1 до 1. В формуле изменяются только значения функции и вертикальное положение, поэтому горизонтальный рисунок синусоиды сохраняется.

1. Множитель 2 перед sin x растягивает график по вертикали в 2 раза: диапазон значений становится от −2 до 2.
2. Число −1 сдвигает весь результат вниз на 1, поэтому итоговый диапазон равен от −3 до 1.
3. Отметим на отрезке точки с x = −2π, −3π/2, −π, −π/2, 0, π/2, π, 3π/2, 2π и вычислим соответствующие y.
4. Соединим точки плавной волной, сохранив период 2π.

Ответ: график получают вертикальным растяжением синусоиды в 2 раза и переносом вниз на 1. Период не изменяется, максимальное значение равно 1, минимальное — −3.

Задача 3. Несколько преобразований

Дан график y = f(x), требуется построить y = −2f(−(x − 1)) + 3. Здесь преобразования вложены друг в друга, поэтому нельзя воспринимать все минусы как один общий сдвиг. Удобно отслеживать сначала аргумент, затем действие над значением функции.

1. Внутреннее выражение −(x − 1) сначала означает перенос аргумента: выражение x − 1 задаёт сдвиг вправо на 1, а знак минус перед ним отражает график относительно оси y с учётом этого сдвига.
2. Множитель −2 перед f отражает полученный график относительно оси x и растягивает его по вертикали в 2 раза.
3. Прибавление 3 переносит результат вверх на 3 единицы.
4. Для проверки можно взять точку исходного графика (u, f(u)): её новый аргумент должен удовлетворять −(x − 1) = u, то есть x = 1 − u, а новая ордината равна −2f(u) + 3.

Ответ: координаты каждой исходной точки (u, f(u)) переходят в (1 − u, −2f(u) + 3). Поэтому последовательно учитываются горизонтальное отражение с переносом, вертикальное отражение и растяжение, затем перенос вверх.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что f(x − a) сдвигает график влево. Её вызывают прямое чтение знака в скобках и забывание о том, какое значение аргумента нужно сохранить. Проверка проста: возьмите вершину или другую заметную точку и решите x − a = x₀.

Часто путают вертикальный и горизонтальный масштабы. Множитель перед f(x) изменяет y, а множитель при x изменяет x в обратном отношении. Проверьте, какая координата меняется в формуле преобразования.

При составных преобразованиях иногда выполняют действия без учёта того, к какой части формулы они относятся. Из-за этого меняются направление сдвига или порядок отражений. Разделите выражение на внешнюю часть и аргумент, а затем проверьте одну точку подстановкой.

Нельзя считать, что отражение и сдвиг всегда можно поменять местами. После отражения координаты уже имеют другие знаки, поэтому последующий перенос действует иначе. Сравните координаты одной характерной точки при двух возможных порядках.

Связь с другими темами

До изучения преобразований нужно уметь строить графики основных функций и читать координаты их точек. Без этого трудно понять, какие элементы изменяются после переноса или отражения.

Преобразования применяются при исследовании функций: с их помощью находят область определения, множество значений и свойства графика. Они также помогают решать уравнения графически, сравнивая пересечения преобразованных кривых.

Что запомнить

• Прибавление числа вне аргумента сдвигает график по вертикали.
• Замена x на x − a сдвигает график вправо на a.
• Множитель перед f(x) изменяет вертикальный масштаб.
• Множитель при аргументе изменяет горизонтальный масштаб в обратном отношении.
• Минус перед функцией отражает график относительно оси x.
• Минус перед аргументом отражает график относительно оси y.