"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Неравенство можно преобразовывать, применяя к его частям одну и ту же функцию, но результат зависит от свойств этой функции. Возрастающая функция сохраняет порядок значений, убывающая меняет его на противоположный. Поэтому при возведении в степень, извлечении корня или переходе к обратным величинам сначала проверяют знаки выражений и область допустимых значений. Эти условия помогают получить равносильное неравенство — с теми же решениями, что и исходное.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равносильные неравенства — это неравенства, множества решений которых совпадают. Например, x + 2 > 5 и x > 3 равносильны: оба выполняются при одних и тех же значениях x. Переход к равносильному неравенству сохраняет все решения и не добавляет лишних, поэтому им можно заменить исходное при решении.
Строго возрастающая функция — функция, которая сохраняет порядок значений на рассматриваемом промежутке: из a < b следует f(a) < f(b). Например, функция y = x³ строго возрастает на всей числовой прямой. Это свойство позволяет применить функцию к обеим частям неравенства и оставить прежний знак.
Строго убывающая функция — функция, которая меняет порядок значений на промежутке: из a < b следует f(a) > f(b). Так ведёт себя функция y = 1/x на положительных числах. При применении такой функции к обеим частям знак неравенства нужно заменить на противоположный, иначе сравнение будет неверным.
Пусть a < b, и к обеим частям применяют одну и ту же строго монотонную функцию f. Если она возрастает на промежутке, содержащем a и b, то f(a) < f(b); если убывает, то f(a) > f(b). Строгая монотонность также делает функцию взаимно однозначной на этом промежутке, поэтому при соблюдении условий можно восстановить исходное сравнение. Если функция не монотонна на всей рассматриваемой области, её сначала разбивают на подходящие промежутки.
Функция y = xⁿ при нечётном n строго возрастает на всей числовой прямой. Поэтому возведение обеих частей в нечётную степень сохраняет знак сравнения для любых действительных значений. При чётном n порядок сохраняется только на неотрицательных числах, где такая функция возрастает. На отрицательных числах она убывает, а при сравнении выражений разных знаков одного правила для возведения в степень недостаточно.
Переход к обратным величинам — применение функции y = 1/x. На положительных числах она строго убывает: чем больше число, тем меньше его обратная величина, поэтому знак меняется. Прежде чем обращать обе части, нужно удостовериться, что ни одна не равна нулю и обе части имеют одинаковый знак. Если обе величины отрицательны, функция также убывает на отрицательном промежутке, но полученное сравнение нужно обосновать с учётом этого промежутка; при разных знаках требуется отдельный разбор.
Извлечение корня связано с функцией y = √[n]{x}. Для корня нечётной степени область определения — все действительные числа, а функция строго возрастает, поэтому знак сравнения сохраняется. Корень чётной степени определён только при неотрицательном подкоренном выражении и возрастает на этой области. Значит, перед извлечением такого корня надо проверить, что обе сравниваемые части неотрицательны.
Условия применения преобразования устанавливают до вычислений: проверяют область определения, знаки выражений и промежуток монотонности функции. Затем выясняют, обратим ли переход при этих условиях и не появились ли дополнительные ограничения. Если преобразование могло добавить решения, найденные значения подставляют в исходное неравенство. Такой порядок помогает сохранить именно исходное множество решений.
| Преобразование | Условия | Что происходит со знаком | Равносильность |
|---|---|---|---|
| Применение строго возрастающей функции | Обе части принадлежат промежутку строгого возрастания | Сохраняется | Да, если функция строго возрастает на этом промежутке |
| Применение строго убывающей функции | Обе части принадлежат промежутку строгого убывания | Меняется на противоположный | Да, если функция строго убывает на этом промежутке |
| Возведение в нечётную степень | Части — действительные числа | Сохраняется | Да |
| Возведение в чётную степень | Обе части неотрицательны | Сохраняется | Да при указанном условии; иначе нужен разбор знаков |
| Переход к обратным величинам | Части ненулевые; знак и промежуток определены | Для положительных частей меняется на противоположный | При корректном учёте знаков и ограничений |
| Извлечение корня | Для чётного корня части неотрицательны | Сохраняется | Да, на области определения корня |
Пользуйся таблицей как проверкой перед преобразованием: сначала найди нужную строку, затем проверь все условия. Если условие не установлено, разбей решение на случаи или оставь преобразование до выяснения знаков. Столбец о равносильности напоминает, что итог должен сохранять исходные решения.
Удобно применить к обеим частям функцию f(t) = t − 2. Она строго возрастает на всей числовой прямой, потому что при увеличении аргумента значение функции тоже увеличивается. Значит, после применения функции знак сравнения останется прежним.
Ответ: x > 3. Проверка показывает, что при любом x > 3 исходное неравенство выполняется, а при x ≤ 3 оно неверно. Поэтому преобразование не добавило и не потеряло решений.
Возведение в третью степень сохраняет порядок любых действительных чисел, но здесь удобнее извлечь кубический корень из обеих частей. Функция кубического корня определена на всей числовой прямой и строго возрастает. Поэтому знак < не меняется.
Ответ: x < 2. Например, при x = 1 исходное сравнение верно, а при x = 2 получается равенство, которое условию строгого неравенства не подходит. Значение 2 в ответ не включается.
Сначала отмечаем, что x ≠ 0, иначе дробь 1/x не определена. Нельзя сразу умножать обе части на x, не зная его знака: при умножении на отрицательное число знак неравенства пришлось бы менять. Разберём отдельно отрицательные и положительные значения x.
Ответ: 0 < x < 3. Проверка, например, при x = 1 даёт 1 > 1/3, а при x = 4 — 1/4 < 1/3. Отрицательных решений нет по рассмотренному случаю.
Возведение обеих частей в чётную степень без проверки знаков может изменить множество решений, потому что функция x² не возрастает на всей прямой. Так можно потерять разницу между отрицательными значениями или получить лишние решения при разных знаках частей. Эту ошибку допускают, перенося правило для положительных чисел на любые числа. Перед возведением отметь знаки обеих частей и раздели задачу на случаи, если они неизвестны.
Переход к обратным величинам без проверки нуля и знаков опасен: функция 1/x не определена при нуле, а её поведение зависит от промежутка. Часто знак меняют автоматически, не выяснив, лежат ли обе части в области, где это правило применимо. Проверь, что обе части ненулевые, и установи их знаки до обращения. Если знаки различаются, разбери такие случаи отдельно.
При применении убывающей функции нельзя оставлять исходный знак: она меняет порядок чисел на противоположный. Ошибка возникает, когда правило для возрастающей функции запоминают, но не проверяют монотонность. Для самопроверки подставь простые числа из нужного промежутка: например, 2 < 4, но 1/2 > 1/4. Такой тест наглядно показывает, какой знак нужен.
Не всякое преобразование автоматически равносильно исходному: ограничения функции могут исключить часть значений или новый переход может добавить решения. Например, корень чётной степени требует неотрицательного подкоренного выражения, а обращение запрещено при нуле. Ошибку допускают, когда проверяют только вычисления и забывают про область определения. Запиши ограничения до перехода и подставь найденные решения в исходное неравенство.
Чтобы уверенно преобразовывать неравенства, нужны свойства числовых неравенств и умение находить область определения выражений. Также пригодится понятие монотонности: оно показывает, сохранится ли порядок при применении функции. Эти знания связывают алгебраические преобразования с исследованием функций.
Правила применяются при решении неравенств с дробями, степенями и корнями. Они помогают обосновывать каждый равносильный переход, не терять решения и не добавлять лишние. При сложных неравенствах это особенно важно: сначала определяют допустимые значения и знаки выражений, а уже затем выбирают преобразование.
Почему при применении убывающей функции знак неравенства меняется?
Убывающая функция обращает порядок значений: если a < b, то f(a) > f(b). Например, при положительных a и b из a < b следует 1/a > 1/b. Поэтому знак нужно поменять на противоположный.
Можно ли возвести обе части неравенства в квадрат?
Можно, если заранее известно, что обе части неотрицательны: на этом промежутке функция y = x² возрастает. Для отрицательных или разноимённых частей такое преобразование может изменить множество решений. Сначала установите знаки выражений, затем возводите их в квадрат.
Когда при обращении дробей знак неравенства меняется?
Если обе части положительны, переход к обратным величинам меняет знак на противоположный. Обе части также должны быть ненулевыми. При отрицательных или разноимённых частях нужно отдельно рассмотреть знаки и не применять это правило автоматически.
Всегда ли извлечение корня сохраняет знак неравенства?
Функция корня возрастает на своей допустимой области, поэтому при сравнении неотрицательных чисел знак сохраняется. Для корня чётной степени обе части должны быть неотрицательными. Перед извлечением корня проверьте область определения.
Как проверить, что преобразование не изменило множество решений?
Проверьте, что условия применения функции выполняются для обеих частей на всей рассматриваемой области. Затем убедитесь, что переход обратим: из нового неравенства можно получить исходное при тех же ограничениях. В конце подставьте найденные решения в исходное неравенство.
11.4. Другие преобразования неравенств
