"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Умножение неравенства на функцию позволяет заменить исходное сравнение новым, умножив обе его части на один и тот же множитель. Главный вопрос — знак функции на рассматриваемой области: положительный множитель сохраняет знак неравенства, отрицательный меняет его, а нулевой может уничтожить исходную информацию. Если функция меняет знак, область разбивают на промежутки и рассматривают каждый случай отдельно. Перед преобразованием обязательно находят область допустимых значений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Умножение неравенства на функцию — действие, при котором обе части неравенства умножают на одно и то же значение функции при каждом допустимом значении переменной. Например, из a > b получают af(x) и bf(x). Такой приём помогает преобразовывать неравенства, особенно дробно-рациональные, но требует учёта знака множителя.
Знак функции на множестве показывает, где она положительна, отрицательна или равна нулю. Для функции f(x) это записывают так: f(x) > 0, f(x) < 0 или f(x) = 0. Знак нужен потому, что именно от него зависит, сохранится ли направление неравенства или изменится.
Равносильные неравенства — это неравенства, имеющие одинаковые решения. Умножение сохраняет равносильность, если множитель на всей рассматриваемой области положителен или на всей области отрицателен и нигде не равен нулю. Если эти условия нарушаются, новый результат может иметь лишние решения или потерять часть исходных.
Область допустимых значений, или ОДЗ, — значения переменной, при которых определены все выражения исходного неравенства и выбранной функции-множителя. Например, множитель 1/(x + 2) нельзя использовать при x = −2. ОДЗ находят до преобразования и сохраняют при записи ответа.
Если f(x) > 0, умножение сохраняет знак неравенства, потому что положительное число не меняет порядок чисел на числовой прямой. Из a > b следует af(x) > bf(x), а обратный переход выполняется делением на тот же положительный множитель. Поэтому такое преобразование является равносильным на всей области, где функция положительна.
Если f(x) < 0, порядок чисел меняется: меньшее после умножения становится большим по сравнению с результатом умножения большего числа. Например, из 2 < 5 при умножении на −1 получается −2 > −5. Поэтому из a > b следует af(x) < bf(x), а знак неравенства обязательно переворачивают.
В точке, где f(x) = 0, обе части после умножения превращаются в ноль: af(x) = bf(x) = 0. Полученное равенство уже не показывает, было ли исходное сравнение верным. Поэтому умножение на нулевой множитель не считают равносильным преобразованием и такие точки исследуют отдельно.
Если функция меняет знак, один и тот же знак неравенства нельзя сохранять на всей области. Например, x + 2 отрицательна слева от −2 и положительна справа от −2, поэтому при умножении на неё в разных промежутках действуют разные правила. Сначала область делят по нулям и точкам неопределённости функции, затем решают получившиеся случаи.
Перед преобразованием находят ОДЗ и выясняют знак функции-множителя на каждом промежутке. После решения случаев объединяют подходящие результаты, но не добавляют точки, исключённые из ОДЗ. Нули множителя также проверяют отдельно: они могут входить в область определения, но само умножение в этих точках не сохраняет исходную информацию.
| Знак функции-множителя | Исходное неравенство a > b | Результат умножения на функцию f(x) |
|---|---|---|
| f(x) > 0 | a > b | af(x) > bf(x), знак сохраняется |
| f(x) < 0 | a > b | af(x) < bf(x), знак меняется |
| f(x) = 0 | a > b | 0 = 0, исходная информация теряется |
| f(x) меняет знак на рассматриваемой области | a > b | Область разбивают на промежутки и применяют оба правила |
Пользуйтесь таблицей после определения ОДЗ и знака функции-множителя. Для каждого промежутка выберите строку с подходящим знаком, а точки нуля и неопределённости проверьте отдельно. Итоговое множество решений получают объединением допустимых результатов всех случаев.
При x > 0 решить неравенство 2 < 5, умножив обе части на x. Здесь исходное сравнение верно, а условие x > 0 заранее сообщает знак множителя. Нужно показать, что преобразование не меняет смысл неравенства.
Ответ: при условии x > 0 получаем равносильное неравенство 2x < 5x.
При x < 0 преобразовать неравенство 2 < 5, умножив обе части на x. Теперь множитель отрицателен, поэтому механически оставлять прежний знак нельзя. Направление сравнения нужно изменить уже в момент умножения.
Ответ: 2x > 5x при x < 0.
Решим неравенство (x − 1)/(x + 2) > 0, умножая его на функцию x + 2. Сначала исключаем x = −2, потому что исходная дробь там не определена. Затем рассматриваем отдельно промежутки, где множитель положителен и отрицателен.
Ответ: x ∈ (−∞; −2) ∪ (1; +∞).
Умножают на отрицательную функцию и оставляют прежний знак неравенства. Такая ошибка возникает, когда правило для положительного множителя переносят на все случаи. Проверка проста: подставьте любой конкретный отрицательный множитель, например −1, и проследите, как меняется порядок чисел.
Умножают на функцию, не выяснив её знак. Если функция положительна на одном промежутке и отрицательна на другом, единое преобразование будет неверным хотя бы на части области. Проверьте нули функции и возьмите по одной контрольной точке из каждого получившегося промежутка.
Считают умножение на функцию, обращающуюся в ноль, равносильным преобразованием. В нуле множителя обе части становятся равными, поэтому исходное неравенство перестаёт влиять на результат. Подставьте точку в обе записи и отдельно решите, принадлежит ли она исходной области.
Забывают ограничения на переменную, возникшие из ОДЗ. Чаще всего это происходит при умножении или преобразовании дробей с переменной в знаменателе. Перед началом выпишите запрещённые значения и исключите их из окончательного ответа.
До этой темы нужно уметь находить область допустимых значений и промежутки знакопостоянства функции. Правила умножения на функцию основаны на свойствах числовых неравенств при умножении на положительное и отрицательное число. Приём используется при решении рациональных, дробно-рациональных и других неравенств, где знак выражения зависит от переменной.
Почему при умножении неравенства на отрицательную функцию нужно менять знак?
Отрицательное умножение меняет порядок чисел на противоположный: например, из 2 < 5 при умножении на −1 получается −2 > −5. Поэтому при отрицательном значении функции знак неравенства необходимо изменить.
Можно ли умножать неравенство на функцию, которая меняет знак?
Можно, но нельзя сразу записать один общий результат. Область разбивают на промежутки, где функция положительна и отрицательна, а затем в каждом случае выбирают нужное направление знака.
Что происходит с неравенством в точках, где функция-множитель равна нулю?
Обе части неравенства после умножения становятся равными нулю. Такое преобразование теряет информацию об исходном сравнении, поэтому точки нуля множителя нельзя автоматически считать решениями.
Как определить, на каких промежутках функция-множитель положительна?
Сначала находят нули функции и точки, где она не определена. Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки, после чего на каждом промежутке проверяют знак функции или используют метод интервалов.
Всегда ли умножение обеих частей на одну функцию даёт равносильное неравенство?
Нет. Равносильность сохраняется, если множитель всюду положителен или всюду отрицателен на рассматриваемой области и не равен нулю. При смене знака или обращении множителя в ноль преобразование нужно проводить по случаям.
11.3. Умножение неравенства на функцию
