"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Возведение неравенства в чётную степень — это замена обеих его частей их одинаковыми чётными степенями. Такой приём помогает сравнивать выражения и преобразовывать неравенства, но работает не всегда: на неотрицательных числах порядок сохраняется, а на всей числовой прямой — нет. Поэтому перед преобразованием проверяют знаки частей или переходят к сравнению их модулей. От этих условий зависит, будет ли новое неравенство равносильно исходному.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Чётная степень числа — степень с натуральным показателем, кратным двум: например, a² или a⁴. Её значение неотрицательно, поскольку произведение чётного числа одинаковых множителей можно сгруппировать в пары; в каждой паре получается квадрат. Это свойство помогает заранее определить возможный знак результата.
Возведение неравенства в чётную степень — преобразование, при котором обе части возводят в одну и ту же степень 2n. Например, из сравнения a и b получают сравнение a² и b². Приём полезен, чтобы сравнивать степени, но его допустимость зависит от знаков частей.
Равносильные неравенства — неравенства с одним и тем же множеством решений. Преобразование сохраняет равносильность, если из исходного неравенства можно получить новое и наоборот, учитывая условия на переменные. Это нужно, чтобы при решении не потерять или не добавить корни.
Модуль числа — расстояние от числа до нуля, обозначается |a| и не бывает отрицательным. Например, |−4| = 4. Модуль позволяет сравнивать чётные степени оснований разных знаков: при одинаковом чётном показателе решает расстояние основания до нуля.
Для неотрицательных чисел возведение в степень 2n сохраняет строгий порядок: если 0 ≤ a < b, то a²ⁿ < b²ⁿ. Причина видна из разложения: b²ⁿ − a²ⁿ = (b − a)(b + a)(b² + a²)…(b²ⁿ⁻¹ + a²ⁿ⁻¹). При a < b первый множитель положителен, остальные множители неотрицательны, а b + a положителен; значит, разность положительна. Поэтому большая неотрицательная величина после возведения остаётся большей.
Если обе части неравенства положительны, их можно возвести в одну чётную степень, не меняя знак. Возведение в такую степень строго возрастает на неотрицательных числах: большим значениям соответствуют большие степени. Поэтому сравнение после преобразования сохраняет исходный порядок, и обратный переход тоже возможен. Для неравенства с переменной нужно при этом оставить условие, что обе части неотрицательны.
На всей числовой прямой чётная степень не сохраняет порядок, потому что она зависит от расстояния числа до нуля, а не от его положения слева направо. Например, −3 меньше −2, но квадрат числа −3 больше квадрата числа −2. Чем дальше отрицательное число от нуля, тем больше его чётная степень. Поэтому нельзя применять правило сохранения порядка, не проверив знаки.
Для любых действительных оснований сравнение чётных степеней сводится к сравнению модулей: a²ⁿ < b²ⁿ тогда и только тогда, когда |a| < |b|. Действительно, a²ⁿ = |a|²ⁿ, поскольку чётная степень устраняет знак основания. После перехода к модулям мы сравниваем неотрицательные числа, для которых возведение в степень порядок сохраняет. Такой способ подходит и тогда, когда основания имеют разные знаки.
Перед преобразованием выясни, какие знаки могут иметь обе части. Если они неотрицательны, можно возвести их в чётную степень; если отрицательны или знаки неизвестны, сравни модули либо раздели решение на случаи. В задаче с переменной границы случаев нужно записать как условия на переменную. Затем проверь, что полученное неравенство вместе с этими условиями не изменило множество решений.
| Условия на a и b | Сравнение до возведения | Сравнение после возведения | Можно ли сохранить равносильность |
|---|---|---|---|
| 0 ≤ a < b | a < b | a²ⁿ < b²ⁿ | Да, на неотрицательной области |
| a > b ≥ 0 | a > b | a²ⁿ > b²ⁿ | Да, на неотрицательной области |
| a < b < 0 | a < b | a²ⁿ > b²ⁿ | Нет, порядок меняется |
| Знаки a и b произвольны | Зависит от a и b | Сравниваются |a| и |b| | Только с учётом знаков и модулей |
Сначала найди строку, соответствующую знакам чисел, и проверь сравнение после возведения. Если знаки произвольны, сравни модули оснований, а не сами числа. При работе с переменными обязательно сохрани условия, на которых верно выбранное правило.
Условие: известно, что 0 ≤ x < 3. Получить неравенство для x² и объяснить, равносильно ли оно исходному при условии x ≥ 0.
Из условия обе части сравнения неотрицательны: x ≥ 0 и 3 > 0. Значит, на этом промежутке квадрат сохраняет строгий порядок. Возводим обе части в квадрат и получаем x² < 9.
Проверим обратный переход при условии x ≥ 0. Из x² < 9 следует |x| < 3, а при x ≥ 0 это равносильно x < 3. Поэтому вместе с ограничением x ≥ 0 исходное условие и результат задают одно множество решений.
Ответ: x² < 9; при условии x ≥ 0 неравенство равносильно исходному. Если забыть ограничение на знак x, появятся лишние решения, например x = −1.
Условие: сравнить 5⁴ и 7⁴, не вычисляя степени.
Основания 5 и 7 положительны, причём 5 < 7. При возведении положительных чисел в одинаковую чётную степень порядок сохраняется. Поэтому достаточно сравнить основания, а вычислять четвёртые степени не нужно.
Записываем результат сравнения: 5⁴ < 7⁴. Ответ обоснован сохранением порядка на неотрицательных числах.
Условие: проверить утверждение «из −3 < −2 следует (−3)² < (−2)²».
Возведение в квадрат даёт 9 и 4, поэтому заявленное сравнение неверно: 9 не меньше 4. Исходные основания отрицательны, и −3 находится дальше от нуля, чем −2. Следовательно, его модуль больше.
Сравним модули: |−3| = 3, |−2| = 2, а значит, |−3| > |−2|. Чётные степени сравниваются так же, поэтому (−3)² > (−2)². Ответ: утверждение ложно, верное сравнение — 9 > 4.
Ошибка — возводить обе части в квадрат, не проверив их знаки. Так поступают, потому что запоминают правило для положительных чисел и переносят его на всю числовую прямую. Проверь себя на примере −3 < −2: после возведения знак сравнения уже другой. Сначала установи знаки частей или разбери возможные случаи.
Неверно считать, что при отрицательных частях знак неравенства всегда меняется. Иногда результат зависит от того, какая часть ближе к нулю: решают модули, а не одни только знаки. Сравни расстояния до нуля и только затем делай вывод о степенях. Например, при основаниях −2 и −3 чётные степени сравниваются не так, как сами числа.
Ещё одна ошибка — объявлять новое неравенство равносильным, отбросив исходные ограничения на переменную. Возведение в квадрат может допустить значения, которые не удовлетворяли условию о неотрицательности частей. Чтобы проверить себя, подставь такие значения или отдельно запиши область, где обе части неотрицательны. Сохраняй эту область до конца решения.
При разных знаках оснований нельзя сравнивать их чётные степени по самим основаниям. Знаки исчезают после возведения в чётную степень, поэтому сравнение определяется величиной модулей. Проверь себя, заменив a²ⁿ на |a|²ⁿ и |b|²ⁿ. Если модуль одного основания больше, его чётная степень тоже больше.
Для работы с чётными степенями нужны свойства числовых неравенств и правила сравнения чисел. В частности, важно понимать, когда преобразование сохраняет знак сравнения. Определение модуля помогает сравнивать числа, расположенные по разные стороны от нуля.
Этот приём применяется при преобразовании неравенств и сравнении выражений, содержащих чётные степени. Он помогает упростить запись, если знаки частей известны. Если знаки переменных неизвестны, приходится учитывать ограничения или рассматривать отдельные случаи.
Всегда ли можно возвести обе части неравенства в квадрат?
Нет. Если обе части неотрицательны, квадрат сохраняет порядок. Если знаки неизвестны или части отрицательны, сначала нужно выяснить, как соотносятся их модули.
Почему при возведении отрицательных чисел в квадрат порядок может измениться?
Чем отрицательное число дальше от нуля, тем больше его квадрат. Например, −3 < −2, но 9 > 4.
Как сравнить две чётные степени, если основания разных знаков?
Сравни основания по модулю: a²ⁿ < b²ⁿ тогда и только тогда, когда |a| < |b|. Знак основания при чётной степени исчезает.
Нужно ли менять знак неравенства при возведении в чётную степень?
Нельзя заранее решить, нужно ли менять знак: результат определяется знаками и модулями частей. На неотрицательных числах знак сохраняется, а на отрицательных сравнение может измениться.
Когда возведение неравенства в чётную степень даёт равносильное неравенство?
Когда обе части неотрицательны и условие их неотрицательности сохраняется. Тогда чётная степень строго возрастает на этой области, поэтому исходное и полученное неравенства имеют одинаковые решения.
11.2. Возведение неравенства в четную степень
