11.1. Основные понятия

Определения и обозначения

Случайный опыт — действие или наблюдение, результат которого заранее неизвестен, но возможные результаты можно описать. Например, бросок кубика имеет неизвестный результат до броска, однако заранее известны числа от 1 до 6. Такое описание становится основой для дальнейшего анализа.

Исход случайного опыта — один из возможных результатов опыта. Исходы перечисляют списком или записывают как множество, например Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} для кубика. Это нужно, чтобы не пропустить варианты и точно определить, какие из них относятся к событию.

Событие — утверждение о результате опыта, которое после его проведения может оказаться истинным или ложным. Его также задают набором подходящих исходов: событию «выпало чётное число» соответствует {2, 4, 6}. Поэтому событие удобно рассматривать как часть множества всех исходов.

Достоверное событие происходит всегда, невозможное — никогда, а случайное может произойти, но может и не произойти. При броске кубика событие «выпало число от 1 до 6» достоверно, «выпало 8» невозможно, а «выпало 6» случайно. Такое различие помогает оценивать возможность результата.

Как это устроено

Описание опыта сначала задаёт множество всех возможных исходов, потому что без полного списка нельзя понять, какие результаты вообще допустимы. Например, для броска кубика берут Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, а не только несколько наиболее интересных чисел. Если исход пропустить, событие может быть определено неверно, а дальнейшая вероятность окажется несостоятельной.

Событие связывают с исходами так: оно происходит тогда, когда фактически полученный результат принадлежит соответствующему набору. Для события A = {2, 4, 6} результат 4 означает наступление A, а результат 3 — ненаступление A. Такой подход превращает словесное утверждение в точное математическое правило.

Одно событие можно задать словами или перечислением подходящих исходов, потому что оба описания отвечают на один вопрос: какие результаты считаются успехом. Фраза «выпало число меньше 4» для кубика равносильна записи {1, 2, 3}. Слова удобнее для постановки задачи, а множество — для проверки и вычислений.

Достоверное, невозможное и случайное события различают сравнением их наборов с множеством Ω. Если набор совпадает с Ω, подходят все исходы и событие достоверно; если он пуст, событие невозможно; если содержит только часть Ω, событие случайно. Например, при вытягивании карточки от 1 до 10 утверждения «число меньше 11», «число 12» и «число 7» относятся соответственно к этим трём видам.

Вероятность связывает событие с возможностью его наступления, но для вычисления нужно заранее выбрать модель опыта. В равновозможной модели, например при честном кубике, вероятность события находят как отношение числа подходящих исходов к числу всех исходов: P(A) = m/n. Без договорённости о честности кубика, составе набора или равноправии исходов одно и то же словесное событие нельзя оценить однозначно.

Виды событий и их связь с исходами опыта

Пользуйтесь таблицей так: сначала определите множество всех исходов Ω, затем сравните с ним набор, описывающий событие. Один исход — это результат, а событие может включать несколько исходов или даже все либо ни одного.

Разбор задач

Задача 1

При броске игрального кубика перечислите все возможные исходы и задайте событие «выпало чётное число».

1. У обычного кубика шесть граней, поэтому множество исходов: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
2. Из этого списка выбираем числа, делящиеся на 2: 2, 4 и 6.
3. Записываем событие A = {2, 4, 6}; оно включает три исхода.

Ответ: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {2, 4, 6}.

Задача 2

Из набора карточек с числами от 1 до 10 вытягивают одну. Определите вид событий «выпало число меньше 11» и «выпало число 12».

1. Все исходы образуют множество Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
2. Каждый исход меньше 11, значит первое событие содержит всё множество Ω.
3. Числа 12 в Ω нет, поэтому второе событие не содержит ни одного допустимого исхода.

Ответ: первое событие достоверное, второе невозможное. Утверждение «выпало число 5» было бы случайным, поскольку подходит только один из десяти исходов.

Задача 3

Монету бросают дважды. Перечислите исходы и задайте событие «орёл выпал ровно один раз».

1. Для первого броска возможны О и Р, и для второго также О и Р. Упорядоченные исходы: (О, О), (О, Р), (Р, О), (Р, Р).
2. Выбираем последовательности, где буква О встречается ровно один раз: (О, Р) и (Р, О).
3. Порядок важен, потому что первая пара описывает орла сначала, а вторая — орла во втором броске; это разные результаты двух последовательных испытаний.

Ответ: Ω = {(О, О), (О, Р), (Р, О), (Р, Р)}, A = {(О, Р), (Р, О)}.

Типичные ошибки

Считать событием отдельный исход. Ошибка возникает, когда путают конкретный результат с условием, которое может объединять несколько результатов. Проверьте себя: если в записи события есть 2, 4 и 6, это одно событие с тремя исходами, а не три разных события.

Не учитывать порядок результатов. При нескольких испытаниях последовательности «орёл, решка» и «решка, орёл» различаются. Выпишите результаты по номерам испытаний: первый и второй бросок, чтобы не слить разные исходы.

Называть событие невозможным только из-за малой вероятности. Редкий результат всё ещё может произойти, поэтому он является случайным. Событие невозможно лишь тогда, когда среди допустимых исходов нет ни одного подходящего.

Перечислять не все исходы. Неполный список искажает описание событий и расчёт вероятности. Перед решением спросите себя, учтены ли все варианты каждого испытания и не добавлен ли недопустимый результат.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны навыки перечисления вариантов, понимание множества и его элементов. Запись Ω и выделение подмножества события помогают переводить обычное описание опыта на математический язык.

Понятия исхода и события служат основой теории вероятностей: с их помощью вычисляют вероятности, а позднее изучают объединение, пересечение и противоположное событие. Чем точнее задан набор исходов, тем надёжнее дальнейшие рассуждения.

Что запомнить

• Случайный опыт имеет заранее описываемые возможные исходы.
• Исход — конкретный результат опыта.
• Событие происходит тогда, когда результат опыта принадлежит соответствующему набору исходов.
• Достоверное событие происходит при любом допустимом исходе.
• Невозможное событие не происходит ни при одном допустимом исходе.
• Случайное событие может произойти, но может и не произойти.