"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
График сложной функции часто можно построить по знакомому графику, последовательно изменяя его положение и масштаб. Переносы, растяжения, сжатия и отражения задаются формулой: одни действия меняют значения функции, другие — её аргумент. Умение читать эти изменения помогает быстро строить графики, находить область определения и множество значений, а также решать уравнения и неравенства графическим способом. Главное — следить за скобками и координатами исходных точек.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Преобразование графика функции — изменение положения, формы или масштаба исходного графика по заданной формуле. Например, график y = f(x) можно сдвинуть или изменить расстояния его точек от осей. Это понятие нужно, чтобы строить графики новых функций, опираясь на уже знакомые.
Параллельный перенос графика — сдвиг всех его точек на один и тот же вектор по горизонтали и вертикали. Если каждую точку переместить на одинаковое расстояние вправо и вверх, форма графика сохранится. Перенос помогает быстро учесть добавленные к аргументу или значению функции числа.
Растяжение и сжатие графика — изменение координат точек вдоль одной из осей с помощью множителя. При изменении ординат меняется вертикальный масштаб, а при изменении абсцисс — горизонтальный. Это нужно для построения графиков, которые выглядят уже, шире, выше или ниже исходных.
Последовательное применение преобразований — выполнение нескольких изменений графика, заданных одной формулой. Каждое действие отвечает за свою часть записи: например, перенос и масштабирование могут встречаться одновременно. Такое представление позволяет разбить сложное построение на понятные шаги.
Если к функции прибавить число b, то для каждого прежнего x значение y увеличится на b: точка (x, f(x)) перейдёт в (x, f(x) + b). Абсцисса не меняется, поэтому точки перемещаются только вертикально, на одинаковое расстояние. При b > 0 график идёт вверх, а при b < 0 — вниз. Например, в y = f(x) − 3 все ординаты уменьшаются на 3.
В формуле f(x − a) знак может сбивать с толку, потому что здесь вычитается число, а график перемещается вправо. Чтобы понять причину, возьмём точку исходного графика с абсциссой t: её значение f(t) появится в новой формуле, когда x − a = t. Значит, новая абсцисса равна x = t + a, то есть точка оказалась правее на a. Например, f(x − 2) сдвигает график вправо на 2.
Множитель A перед функцией действует на ординату: точка (x, f(x)) переходит в (x, A·f(x)). Расстояние от точки до оси абсцисс умножается на |A|, поэтому при |A| > 1 происходит вертикальное растяжение, а при 0 < |A| < 1 — сжатие. Множитель k при x изменяет абсциссу: из условия kx = t получается x = t/k. Поэтому при |k| > 1 горизонтальные расстояния уменьшаются, а при 0 < |k| < 1 увеличиваются.
Отрицательное значение A меняет знак каждой ординаты: точка (x, f(x)) переходит в (x, −|A|·f(x)), если A отрицательно. Это означает отражение графика относительно оси абсцисс, совмещённое с растяжением или сжатием, определяемым |A|. Точки на оси абсцисс при отражении остаются на месте. Например, y = −f(x) является зеркальным отражением графика y = f(x).
В выражении A·f(k(x − a)) + b удобно сначала выделить сдвиг и масштаб аргумента, записав его как k(x − a). Так становится видно, что горизонтальное преобразование затрагивает координаты x, а A и b меняют значения функции. Для точек исходного графика правило можно записать напрямую: (t, f(t)) переходит в (a + t/k, A·f(t) + b), если k ≠ 0. При этом согласованный порядок особенно важен для переноса и растяжения по горизонтали: сначала учитывается коэффициент k, а затем положение, задаваемое a.
| Преобразование | Формула | Изменение координат точки | Геометрический результат |
|---|---|---|---|
| Вертикальный перенос | y = f(x) + b | (x, y) → (x, y + b) | Сдвиг вверх при b > 0, вниз при b < 0 |
| Горизонтальный перенос | y = f(x − a) | (x, y) → (x + a, y) | Сдвиг вправо при a > 0, влево при a < 0 |
| Растяжение или сжатие по вертикали | y = A·f(x) | (x, y) → (x, A·y) | Изменение ординат в |A| раз |
| Растяжение или сжатие по горизонтали | y = f(kx) | (x, y) → (x/k, y) | Изменение абсцисс в 1/|k| раз |
| Отражение относительно оси абсцисс | y = −f(x) | (x, y) → (x, −y) | Зеркальное отражение относительно оси Ox |
| Несколько преобразований в формуле y=A·f(k(x−a))+b | y = A·f(k(x − a)) + b | (t, f(t)) → (a + t/k, A·f(t) + b) | Масштабирование и перенос по обеим осям; при A < 0 — отражение |
Пользуясь таблицей, сначала определите, какая часть формулы меняет аргумент, а какая — значение функции. Затем примените соответствующие изменения координат: это помогает проследить судьбу характерных точек. Если коэффициент отрицательный, проверьте, не появляется ли отражение; после построения отдельно установите область определения и множество значений.
Исходный график y = |x| — V-образная ломаная с вершиной в точке (0, 0). В новой формуле число вычитается внутри модуля, поэтому оно задаёт горизонтальное перемещение, а прибавленная снаружи единица меняет ординаты. Разберём эти действия отдельно, чтобы не спутать направления сдвигов. После переноса вершина станет удобной опорной точкой для всего графика.
Ответ: график получается переносом y = |x| на 2 единицы вправо и на 1 вверх; вершина имеет координаты (2, 1).
У корневой функции y = √x исходная точка начала графика — (0, 0), область определения x ≥ 0, а значения неотрицательны. В выражении x + 1 аргумент становится неотрицательным при x ≥ −1, что уже задаёт левую границу нового графика. Коэффициент −2 меняет ординаты, а число 3 вне корня перемещает результат вверх. Проверим, как эти действия отражаются на точке и на множестве значений.
Ответ: график сдвигается влево на 1, отражается и растягивается по вертикали в 2 раза, затем поднимается на 3; область определения [−1; +∞), множество значений (−∞; 3].
Здесь одновременно изменяются аргумент и значения функции, поэтому полезно сначала вынести множитель из выражения с x: 2x − 4 = 2(x − 2). Такой вид показывает горизонтальное сжатие и перенос, а множители и слагаемые снаружи отвечают за вертикальные изменения. Чтобы не потерять направление преобразований, рассмотрим точку исходного графика с произвольной абсциссой t. Её координаты позволят описать результат без привязки к конкретному виду f.
Ответ: горизонтальное сжатие в 2 раза, перенос вправо на 2, вертикальное сжатие в 2 раза и перенос вниз на 3; (t, f(t)) → (2 + t/2, f(t)/2 − 3).
Сдвиг вправо на a иногда записывают как f(x + a), потому что ориентируются на знак плюс или минус внутри скобок. Но нужно спрашивать, при каком новом x аргумент станет равен прежнему значению t: уравнение x − a = t даёт x = t + a. Проверьте себя на исходной точке с абсциссой 0: после сдвига вправо на 2 она должна оказаться при x = 2.
Множитель перед x могут принять за вертикальное растяжение, хотя он меняет именно аргумент функции. Причина ошибки — привычка связывать любой множитель с увеличением значений, но здесь меняются абсциссы исходных точек. Проверьте тип преобразования по формуле координат: если меняется x, масштаб горизонтальный; если f(x) умножается снаружи, вертикальный.
При отрицательном множителе перед функцией иногда учитывают только его модуль и забывают отражение. Так происходит, когда график строят по одному лишь правилу о растяжении и сжатии. Подставьте положительное значение исходной функции: если A < 0, результат становится отрицательным, значит график должен оказаться по другую сторону оси Ox.
При нескольких преобразованиях действия могут выполнять без разбора скобок или переставлять произвольно. Это приводит к неверному горизонтальному сдвигу: например, 2x − 4 важно представить как 2(x − 2), а не как 2(x − 4). Перед построением выделите форму k(x − a) и проверьте результат на произвольной точке по правилу (t, f(t)) → (a + t/k, A·f(t) + b).
Для применения преобразований нужны знания о графиках элементарных функций и координатах точек. Также пригодятся параллельный перенос и свойства модуля и квадратного корня: они помогают понять форму графика и допустимые значения аргумента. После построения графика можно исследовать свойства функции, а затем использовать его для решения уравнений и неравенств графическим методом. Поэтому эта тема связывает формульные преобразования с наглядным анализом функций.
Почему в формуле сдвига вправо стоит выражение x−a?
Точка исходного графика с абсциссой t должна оказаться на a единиц правее, то есть при x = t + a. Поэтому в новой формуле аргумент должен стать прежним t: x − a = t. Отсюда график y = f(x − a) сдвигается вправо.
В каком порядке выполнять несколько преобразований графика?
Сначала удобно привести выражение внутри функции к виду k(x − a), а затем отдельно рассмотреть изменения аргумента и значения функции. Для точного построения можно проследить, куда переходит произвольная точка исходного графика. Такой способ помогает не перепутать порядок и масштаб сдвигов.
Чем отличается множитель перед функцией от множителя при x?
Множитель A перед f меняет ординаты точек, поэтому влияет на вертикальный масштаб. Множитель k при x меняет абсциссы и влияет на горизонтальный масштаб, причём в обратном отношении: координаты по горизонтали делятся на |k|.
Как понять, будет ли график растянут или сжат?
Для множителя перед функцией сравните его модуль с единицей: при |A| > 1 график растягивается по вертикали, а при 0 < |A| < 1 сжимается. Для множителя при x действует обратное правило по горизонтали: |k| > 1 сжимает график, а 0 < |k| < 1 растягивает.
Как определить область определения и множество значений после преобразований?
Область определения находят из условия, что аргумент исходной функции допустим, и учитывают ограничения самой формулы. Множество значений получают из исходных значений функции, применяя к ним вертикальный множитель A и сдвиг b. При A < 0 порядок значений переворачивается.
10.5. Применение нескольких преобразований
