"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
При решении уравнений важно не только выполнить преобразование, но и понять, изменит ли оно множество корней. Деление на выражение с переменной может лишить нас решения, а возведение в чётную степень — добавить лишнее. Чтобы получить равносильное уравнение, нужно сохранить возможность перехода в обе стороны. Разберём условия для разных преобразований, научимся учитывать область допустимых значений и проверять найденные корни.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равносильные уравнения — это уравнения с одним и тем же множеством корней. Такое преобразование должно сохранять решения в обе стороны: каждый корень первого уравнения подходит второму, и наоборот. Тогда при переходе между уравнениями не теряются и не добавляются корни.
Следствие уравнения — уравнение, каждый корень которого является корнем исходного. Обратное может быть неверно: у исходного уравнения могут быть корни, которые не получаются из следствия. Это различие помогает понять, обязательно ли проверять результат преобразования.
Посторонний корень — корень преобразованного уравнения, который не удовлетворяет исходному. Он может появиться, например, после возведения обеих частей в квадрат. Проверка подстановкой нужна, чтобы отличить такие значения от решений задачи.
Область допустимых значений (ОДЗ) — значения переменной, при которых имеют смысл все выражения исходного уравнения. Например, подкоренное выражение чётного корня должно быть неотрицательным, а знаменатель — ненулевым. ОДЗ помогает исключить недопустимые значения ещё до преобразований.
При умножении обеих частей на выражение, зависящее от переменной, важно выяснить, может ли оно стать нулём. Если множитель не равен нулю, равенство после умножения можно обратить делением на него, поэтому корни сохраняются. Но при нулевом множителе обе части нового равенства могут стать нулём независимо от исходного равенства. Поэтому случай, когда множитель равен нулю, рассматривают отдельно в исходном уравнении.
При делении обеих частей на выражение мы фактически сокращаем общий множитель. Если он равен нулю, деление невозможно, хотя исходное уравнение при этом значении может быть верным. Чтобы не потерять такой корень, сначала приравнивают делитель к нулю и проверяют полученные значения в исходном уравнении. Затем делят только в случае, когда делитель не равен нулю.
Возведение обеих частей в чётную степень обычно даёт следствие, а не равносильное уравнение. Причина в том, что разные числа могут иметь одинаковые чётные степени: например, 3² = (−3)². Поэтому новое равенство может выполняться, даже если исходные части не равны. До преобразования учитывают ограничения, а после решения подставляют значения в исходное уравнение.
Применение одной и той же функции к обеим частям сохраняет равносильность, если на допустимых значениях функция взаимно однозначна: разным аргументам соответствуют разные значения. Тогда из равенства результатов следует равенство аргументов. Если же функция может принимать одно значение для разных аргументов, преобразование способно добавить корни. Именно поэтому после таких преобразований проверяют, можно ли однозначно восстановить исходное равенство.
Логарифмирование требует, чтобы его аргументы были положительными, а основание логарифма — положительным и не равным 1. Логарифм с фиксированным допустимым основанием взаимно однозначен, поэтому равенство логарифмов равносильно равенству их положительных аргументов. При потенцировании учитывают основание показательной функции и то, что она должна быть взаимно однозначной. В обоих случаях сначала записывают ограничения, а затем проверяют найденные значения.
Таблица помогает перед каждым преобразованием определить, сохранятся ли корни автоматически или потребуется отдельный разбор. Сначала проверь условие из второго столбца, затем выполни действие и учти пункты из третьего столбца. Если равносильность не доказана, найденные корни нужно проверить в исходном уравнении.
| Преобразование | Когда сохраняются корни | Что проверить |
|---|---|---|
| Умножение обеих частей на выражение | Если выражение не равно нулю на рассматриваемой области | Отдельно рассмотреть значения, при которых множитель равен нулю |
| Деление обеих частей на выражение | Если делитель не равен нулю | Сначала найти и проверить нулевые значения делителя |
| Возведение обеих частей в степень | Для нечётной степени переход обратим; для чётной — обычно нет | ОДЗ и подстановку найденных корней в исходное уравнение |
| Применение функции к обеим частям | Если функция взаимно однозначна на допустимых значениях | Не могут ли разные аргументы дать одинаковое значение функции |
| Логарифмирование или потенцирование | При допустимом основании и взаимно однозначной функции | ОДЗ, положительность аргументов и свойства основания |
Задача 1. Решить уравнение (x − 2)(x + 1) = 0 и объяснить, почему нельзя без проверки разделить обе части на x − 2.
Ответ: x = −1, 2. Делить на x − 2 можно только после отдельной проверки случая x = 2.
Задача 2. Решить уравнение √(x + 1) = x − 1, возведя обе части в квадрат.
Ответ: x = 3. Ограничение и проверка нужны потому, что возведение в квадрат само по себе не гарантирует равносильности.
Задача 3. Решить уравнение log₂(x − 1) = log₂(3 − x), применив свойства логарифма.
Ответ: x = 2. Переход к равенству аргументов допустим благодаря ОДЗ и взаимной однозначности логарифма с основанием 2.
Делят обе части на выражение с переменной, не рассматривая его нулевые значения. Так легко потерять решение, потому что при делении значение нулевого делителя исключается, хотя оно могло удовлетворять исходному уравнению. Перед делением приравняй делитель к нулю и проверь эти значения отдельно.
После возведения в чётную степень считают полученное уравнение равносильным исходному и оставляют все его корни. Так происходит потому, что числа с разными знаками имеют одинаковые квадраты. Проверь каждый кандидат в исходном уравнении, а до возведения учти ограничения на знаки и ОДЗ.
Логарифмируют выражения, не проверив положительность аргументов. При неположительном аргументе логарифм в действительных числах не определён, поэтому преобразование может быть недопустимым. До логарифмирования составь неравенства для всех аргументов и найди их общую область.
Проверяют решения только в преобразованном уравнении и принимают посторонние корни. Ошибка возникает, когда преобразование сохраняет лишь одно направление перехода, например после возведения в квадрат. Подстановка каждого кандидата в исходное уравнение показывает, действительно ли он является корнем.
Для работы с преобразованиями нужно знать, что такое равносильные уравнения и ОДЗ, а также правила преобразования числовых равенств. Эти знания позволяют понять, когда действие можно обратить и почему некоторые значения нужно рассматривать отдельно. Освоенные приёмы применяются при решении иррациональных, показательных и логарифмических уравнений. В них особенно важно учитывать ограничения и проверять, не изменился ли набор корней.
Почему после возведения в квадрат могут появиться лишние корни?
Потому что равенство квадратов не означает равенства исходных чисел: например, 2² = (−2)². Поэтому квадрат исходного равенства может выполняться и при разных значениях его частей. Найденные корни нужно подставить в исходное уравнение.
Можно ли делить обе части уравнения на выражение с переменной?
Можно, если выражение не равно нулю на рассматриваемой области. Если оно может обратиться в ноль, сначала отдельно проверяют соответствующие значения переменной. Иначе можно потерять корень.
Как не потерять корень при делении на выражение?
Приравняй делитель к нулю и рассмотри полученные значения отдельно в исходном уравнении. Затем раздели на этот делитель в случае, когда он не равен нулю. В конце проверь все найденные значения.
Зачем проверять решения после преобразований?
Некоторые преобразования дают уравнение-следствие: его корни подходят новому уравнению, но могут не подходить исходному. Проверка позволяет отбросить посторонние корни. Особенно необходима она после возведения обеих частей в чётную степень.
Какие условия нужно выполнить перед логарифмированием?
Аргументы логарифмов должны быть положительными, а основание — положительным и не равным 1. Также нужно учитывать, что логарифм взаимно однозначен только при фиксированном допустимом основании. После решения проверь найденные значения в исходном уравнении.
10.4. Другие преобразования уравнений
