10.3. Умножение уравнения на функцию

Определения и обозначения

Множитель уравнения — функция, на которую умножают обе части уравнения. Например, в равенстве дробей можно умножить обе части на общий знаменатель. Нужно выяснить, определена ли функция при рассматриваемых значениях переменной и не равна ли она нулю.

Равносильные уравнения — уравнения с одним и тем же множеством решений. После преобразования удобно получить более простое уравнение, но важно установить, что его корни совпадают с корнями исходного. Умножение на функцию гарантирует это не всегда.

Посторонний корень — решение преобразованного уравнения, которое не является решением исходного. Он может появиться, если множитель обращается в ноль: новое равенство тогда выполняется, даже когда исходное не выполнялось. Проверка подстановкой помогает такой корень отбросить.

Область допустимых значений — значения переменной, при которых исходное уравнение имеет смысл. Например, знаменатель дроби не может быть равен нулю. Ограничения находят до преобразований и сохраняют до конца решения.

Как это устроено

Пусть исходное уравнение имеет вид A(x) = B(x), а функция-множитель f(x) определена при выбранном значении x. Если x — решение исходного уравнения, то A(x) и B(x) равны. При умножении равных чисел на одно и то же число равенство сохраняется, поэтому f(x)A(x) = f(x)B(x). Так каждое допустимое исходное решение становится решением преобразованного уравнения.

Чтобы обратный переход тоже работал, множитель должен быть ненулевым. Тогда из f(x)A(x) = f(x)B(x) можно разделить обе части на f(x) и получить A(x) = B(x). Значит, при определённом и ненулевом на рассматриваемой области множителе решения не теряются и не добавляются. Именно поэтому такое преобразование равносильно исходному.

Если f(x) может равняться нулю, деление на него в обратном переходе невозможно. В точке, где f(x) = 0, равенство f(x)A(x) = f(x)B(x) превращается в 0 = 0. Оно не сообщает, равны ли A(x) и B(x), поэтому преобразованное уравнение иногда принимает значения, не подходящие исходному. Это и есть причина появления посторонних корней.

Нулевые значения множителя находят отдельно: решают уравнение f(x) = 0 и проверяют полученные значения в исходном уравнении. Если хотя бы одно из них удовлетворяет исходному равенству, оно является настоящим решением; если нет — его исключают. Например, при умножении на x нужно проверить x = 0, а при умножении на sin x — значения, где sin x = 0.

Умножение выбирают не произвольно, а ради упрощения: так можно избавиться от знаменателей или преобразовать выражение. Перед этим устанавливают область допустимых значений исходного уравнения, иначе можно случайно включить запрещённое значение. После умножения решают полученное уравнение, а затем сверяют кандидатов с исходным условием и его ограничениями.

Как нули множителя влияют на решения уравнения

Сначала найдите ОДЗ исходного уравнения, затем определите, где множитель определён и где он равен нулю. Если нулей нет на ОДЗ, достаточно решить преобразованное уравнение; если они есть, проверьте их отдельно в исходном равенстве.

Разбор задач

Задача 1. Решить уравнение (x − 1)/(x + 2) = 0. Здесь знаменатель подсказывает ограничение, которое нужно учесть прежде, чем избавляться от дроби. После этого умножение на знаменатель превратит уравнение в более простое.

1. Знаменатель не должен обращаться в ноль: x + 2 ≠ 0, значит, x ≠ −2.
2. Умножаем обе части на x + 2. Получаем x − 1 = 0, откуда x = 1.
3. Проверяем: значение 1 не запрещено, а дробь при x = 1 равна нулю. Значит, это решение исходного уравнения.

Ответ: x = 1.

Задача 2. Решить уравнение sin x = 1/(2 sin x). Правая часть определена лишь при sin x ≠ 0, и это условие сохраняется при решении. Умножение на sin x убирает знаменатель, но сначала нужно помнить, что нулевые значения синуса не входят в ОДЗ.

1. Записываем ограничение sin x ≠ 0.
2. Умножаем обе части на sin x: sin²x = 1/2. Тогда sin x = ±√2/2.
3. Эти значения синуса дают x = π/4 + πk/2, где k ∈ Z. Ни одно из них не имеет sin x = 0, поэтому все полученные корни допустимы.

Ответ: x = π/4 + πk/2, k ∈ Z.

Задача 3. Решить уравнение sin x = (1 − cos x)/sin x. В знаменателе стоит sin x, поэтому уравнение не определено при sin x = 0. Умножим на синус, сохраняя это ограничение, а затем используем основное тригонометрическое тождество.

1. ОДЗ: sin x ≠ 0. Умножаем обе части на sin x и получаем sin²x = 1 − cos x.
2. Подставляем sin²x = 1 − cos²x: 1 − cos²x = 1 − cos x. После упрощения cos²x = cos x, то есть cos x(cos x − 1) = 0.
3. Получаем cos x = 0 или cos x = 1. Второй вариант даёт sin x = 0 и не входит в ОДЗ; первый даёт x = π/2 + πk, k ∈ Z, и эти значения подходят исходному уравнению.

Ответ: x = π/2 + πk, k ∈ Z.

Типичные ошибки

Считать умножение на любую функцию равносильным преобразованием — ошибка: при нулевом множителе обратное деление невозможно. Так рассуждают, потому что умножение на число обычно сохраняет равенство, но забывают проверить, не стало ли это число нулём. Перед выводом о равносильности проверьте, что множитель ненулевой на всей рассматриваемой области.

Если не рассматривать нули множителя, можно оставить в ответе значение, при котором новое уравнение стало верным лишь из-за умножения на ноль. Это упускают, сосредоточившись на решении полученного уравнения. Найдите корни уравнения «множитель равен нулю» и подставьте каждый в исходное равенство.

Забывать ограничения исходной области допустимых значений опасно: например, значение, обращающее знаменатель в ноль, не становится допустимым после умножения. Такая ошибка возникает, когда решают только преобразованное уравнение и не записывают ОДЗ заранее. Проверяйте знаменатели исходного уравнения до любых преобразований и не включайте запрещённые значения в ответ.

Проверка корней только в преобразованном уравнении не позволяет обнаружить посторонние решения. Преобразованное равенство может иметь дополнительные корни, если множитель обращался в ноль, а потому само по себе не подтверждает их пригодность. Сверьте каждый найденный корень с исходным уравнением и записанными ограничениями.

Связь с другими темами

Для решения таких уравнений нужны умение находить область допустимых значений и навык упрощать выражения, например раскрывать скобки. Тема опирается на понятие равносильных уравнений: нужно понимать, когда преобразование сохраняет все решения. Проверка подстановкой позволяет подтвердить ответ в исходном условии. Этот приём особенно полезен в дробно-рациональных и тригонометрических уравнениях, когда умножение убирает знаменатель или упрощает выражение.

Что запомнить

• Умножают обе части уравнения на одну и ту же функцию.
• Множитель должен быть определён в рассматриваемых точках.
• Ненулевой множитель сохраняет равносильность уравнений.
• Нули множителя могут добавить посторонние корни.
• Область допустимых значений исходного уравнения сохраняют.
• Найденные решения проверяют в исходном уравнении.