"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Уравнение с дополнительными условиями решают не отдельно, а вместе с ограничениями, которым обязаны удовлетворять его корни. Такие ограничения могут запрещать нули знаменателей, требовать положительности аргументов логарифмов или задавать промежуток для корня. Сначала выясняют, при каких значениях выражения имеют смысл, затем решают уравнение и проверяют каждый найденный корень. Решением будет только значение, которое подходит и исходному равенству, и всем условиям.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение с дополнительными условиями — уравнение, корни которого должны одновременно удовлетворять заданным ограничениям или условиям. Например, к уравнению могут добавить требование x > 0 или указать промежуток, в котором нужно искать корни. Это определение напоминает, что равенства самого по себе недостаточно для ответа.
Допустимое значение переменной — значение, при котором имеют смысл все выражения уравнения и выполняются заданные ограничения. Так, при наличии дроби со знаменателем x − 2 значение x = 2 недопустимо. Понятие помогает заранее исключить значения, которые нельзя подставлять в исходную запись.
Решение уравнения с дополнительными условиями — допустимое значение, обращающее уравнение в верное равенство. Следовательно, найденный корень должен не только подходить равенству, но и удовлетворять каждому ограничению задачи. Это позволяет точно определить, какие значения записывать в ответ.
Отбор корней — проверка найденных корней на соответствие области допустимых значений и дополнительным условиям. Если корень нарушает хотя бы одно из них, его исключают. Отбор нужен потому, что некоторые преобразования дают кандидатов, которые не решают исходную задачу.
Дополнительное условие рассматривают вместе с уравнением, потому что оно меняет множество подходящих ответов. Например, равенство может иметь несколько корней, но условие x > 0 оставит только положительные. Удобно мысленно записать уравнение и условия как систему: искомое значение должно одновременно удовлетворять всем её частям. Тогда при проверке ни одно ограничение не теряется.
ОДЗ определяют по выражениям, входящим в уравнение. Знаменатель дроби не должен равняться нулю, подкоренное выражение чётного корня должно быть неотрицательным, а аргумент логарифма — положительным. Для других выражений также проверяют, при каких значениях переменной они определены. Пересечение всех полученных ограничений и заданных условий и есть множество допустимых значений.
Часто можно сначала решить основное уравнение, а затем отобрать подходящие корни. Такой порядок удобен, когда уравнение легко решить, а дополнительное условие задаёт, например, промежуток или знак переменной. Однако ограничения нужно записать заранее: тогда ясно, какие значения нельзя использовать при преобразованиях и какие кандидаты проверить в конце. В итог попадут только корни, прошедшие весь отбор.
Преобразование равносильно исходному, если после него множество решений не меняется. Прибавление одного и того же выражения к обеим частям обычно равносильно, а умножение на выражение с переменной требует проверить, не равно ли оно нулю. Возведение в квадрат может добавить корни, поскольку числа с разными знаками имеют одинаковые квадраты. Поэтому после преобразования, не сохраняющего равносильность, найденные значения обязательно проверяют в исходной записи.
| Ситуация | Что установить до решения | Основное действие | Что проверить после решения |
|---|---|---|---|
| Есть дроби с переменной в знаменателе | Знаменатели не равны нулю | Решить уравнение с учётом запретов | Исключить значения, обращающие знаменатель в ноль |
| Есть квадратные корни | Подкоренные выражения неотрицательны | Решить уравнение или систему ограничений | Проверить корни в исходном уравнении |
| Есть логарифмы | Аргументы логарифмов положительны | Использовать свойства логарифмов только на допустимых значениях | Проверить ОДЗ и исходное равенство |
| Задано условие на корень | Корень должен принадлежать указанному промежутку или множеству | Найти все корни основного уравнения | Оставить только корни, удовлетворяющие условию |
| При преобразованиях выполняется возведение в квадрат или умножение | Проверить, не нарушены ли ограничения равносильности | Провести преобразование и решить полученное уравнение | Подставить найденные значения в исходную запись |
Пользуйся таблицей как контрольным списком: сначала найди все ограничения, которые относятся к твоему уравнению, а затем решай его. После вычислений пройди последнюю колонку и проверь каждый найденный корень. Если ограничений несколько, значение должно выполнить их все.
Задача 1. Решить уравнение (x + 1)/(x − 2) = 3 при дополнительном условии x > 0.
Ответ: x = 7/2.
Задача 2. Решить уравнение √(2x − 1) = x − 2 при условии x ∈ [1; 5].
Ответ: x = 5.
Задача 3. Решить уравнение log₂(x − 1) + log₂(x + 1) = 2 при дополнительном условии x < 3.
Ответ: x = √5.
Первая ошибка — решить основное уравнение и забыть о дополнительном условии. Так в ответ попадают корни, которые удовлетворяют равенству, но не подходят, например, заданному промежутку. Это случается, когда ограничение воспринимают как подсказку, а не как обязательную часть задачи. Проверь себя: выпиши условия отдельно и отметь для каждого корня, выполнено ли каждое из них.
Вторая ошибка — не находить ОДЗ до преобразований. Тогда можно использовать значение, при котором знаменатель равен нулю или логарифм не определён, и получить неверное рассуждение. Причина обычно в том, что внимание сосредоточено на решении уравнения, а не на смысле его выражений. До вычислений проверь знаменатели, корни и логарифмы, а затем сверь корни с выписанными ограничениями.
Третья ошибка — принять все корни после возведения в квадрат, не проверив их в исходном равенстве. Квадрат обеих частей может скрыть разницу знаков, поэтому у преобразованного уравнения появляются лишние кандидаты. Чтобы себя проверить, подставь каждый корень именно в исходную запись, а не только в уравнение после преобразования. Неподходящие значения исключи из ответа.
Четвёртая ошибка — делить на выражение с переменной, не рассмотрев случай, когда оно равно нулю. При делении такой случай теряется, и можно пропустить решение или получить неверное множество корней. Это происходит потому, что деление на ноль недопустимо. До деления отдельно проверь, когда делитель обращается в ноль, и при необходимости разбери этот случай отдельно.
Для решения понадобятся знания об области допустимых значений, равносильных преобразованиях, свойствах степеней, корней и логарифмов. Эти приёмы применяются при решении рациональных, иррациональных, показательных и логарифмических уравнений: в каждом случае сначала учитывают, где выражения имеют смысл. Умение проверять условия также пригодится при решении систем уравнений и неравенств. В задачах с параметрами оно помогает не потерять ограничения, зависящие от неизвестных величин.
Чем уравнение с дополнительным условием отличается от обычного уравнения?
У обычного уравнения требуется найти все значения, при которых равенство верно. В уравнении с дополнительным условием подходят только те из них, которые также выполняют заданные ограничения.
Нужно ли всегда составлять ОДЗ до решения уравнения?
Да, если в уравнении есть выражения, определённые не при всех значениях переменной. ОДЗ помогает не использовать недопустимые преобразования и заранее исключить значения, при которых исходная запись не имеет смысла.
Почему после возведения в квадрат появляются посторонние корни?
Возведение обеих частей в квадрат не всегда сохраняет равносильность: разные числа, например 3 и −3, имеют одинаковый квадрат. Поэтому уравнение после такого преобразования может иметь решения, не подходящие исходному равенству.
Можно ли сначала решить уравнение, а дополнительное условие проверить в конце?
Можно, если при решении не потерять ОДЗ и помнить, что некоторые преобразования могут добавить посторонние корни. После решения нужно проверить каждый кандидат и в исходном уравнении, и во всех дополнительных условиях.
Как записать ответ, если дополнительному условию удовлетворяет только один из корней?
В ответ включают только корень, который удовлетворяет исходному уравнению и всем условиям. Например, если из корней 1 и 5 условию подходит только 5, записывают x = 5.
10.6. Уравнения с дополнительными условиями
