2.11. Системы рациональных неравенств

Определения и обозначения

Рациональное неравенство — это неравенство, в котором обе части являются рациональными выражениями: числами, переменными, многочленами или дробями с ними. Узнать такое неравенство можно, например, по переменной в знаменателе: (x − 2)/(x + 1) > 0. Знаменатель не может быть равен нулю, потому что деление на ноль не определено.

Система рациональных неравенств — несколько неравенств с общей переменной, которые должны выполняться одновременно. Например, в системе могут быть две дроби с x, но у каждой свои ограничения. Это понятие помогает описать ситуацию, когда одного условия недостаточно и нужно учитывать несколько требований сразу.

Область допустимых значений, или ОДЗ, — значения переменной, при которых все знаменатели выражений системы отличны от нуля. Её находят из условий вида x + 1 ≠ 0 и записывают до решения неравенств. Так мы заранее исключаем значения, для которых исходные выражения не имеют смысла.

Решение системы — значение переменной, которое принадлежит ОДЗ и удовлетворяет каждому неравенству системы. Если хотя бы одно условие не выполняется, значение не является решением всей системы. Поэтому в ответе остаются только общие подходящие значения.

Как это устроено

Чтобы начать решать рациональное неравенство, перенесите все слагаемые в одну часть, а в другой оставьте ноль. Затем приведите выражения к общей дроби и запишите сравнение полученной дроби с нулём. Такой переход удобен, потому что знак дроби определяется знаками её числителя и знаменателя.

До преобразований выпишите ограничения, полученные из знаменателей: каждый знаменатель должен быть отличен от нуля. Например, если в знаменателе есть x − 3, то x ≠ 3. Ограничение сохраняется и после сокращения дроби: сокращение упрощает выражение, но не делает допустимым значение, при котором исходная дробь не была определена.

Метод интервалов использует то, что знак дроби может измениться в нуле числителя или знаменателя. Найдите эти точки, отметьте их на числовой прямой и разделите прямую на промежутки. На каждом промежутке знак постоянен, поэтому достаточно подставить пробное значение или определить знак множителей; при переходе через корень нечётной кратности знак меняется, а через корень чётной кратности сохраняется.

Решение системы получают пересечением множеств решений отдельных неравенств. Иными словами, значение должно попасть в каждый из найденных ответов, а объединение оставило бы точки, подходящие лишь для одного условия. Практически удобно изобразить ответы на одной прямой и выбрать их общую часть, не забывая про ОДЗ.

В итоговую запись включают нули числителя, если неравенство нестрогое и знаменатель в этих точках не равен нулю. При строгом неравенстве такие точки исключают, поскольку дробь равна нулю, а ноль не удовлетворяет знаку < или >. Точки, где знаменатель равен нулю, исключают всегда, в том числе при знаках ≤ и ≥.

Как учитывать граничные точки при решении рационального неравенства и системы

Сначала определите роль каждой критической точки для отдельного неравенства: нуль числителя или нуль знаменателя. Затем при решении системы дополнительно проверьте, входит ли точка в ответы остальных условий. Такой порядок помогает не включить запрещённые значения и не потерять допустимые границы.

Разбор задач

Задача 1. Решить неравенство (x − 2)/(x + 1) > 0.

1. Знаменатель обращается в ноль при x = −1, поэтому это значение исключаем. Числитель равен нулю при x = 2; обе точки отмечаем на прямой.
2. Точки −1 и 2 делят прямую на три промежутка. При x < −1 числитель и знаменатель отрицательны, поэтому дробь положительна; между −1 и 2 знаки разные, а при x > 2 оба множителя положительны.
3. Выбираем промежутки, где дробь больше нуля. Точку −1 исключаем из-за знаменателя, а точку 2 — потому что неравенство строгое.

Ответ: (−∞; −1) ∪ (2; +∞).

Задача 2. Решить неравенство (x − 1)(x + 2)/(x − 3) ≤ 0.

1. Критические точки: −2 и 1 — нули числителя, 3 — нуль знаменателя. Упорядочиваем их: −2 < 1 < 3; точку 3 сразу исключаем из ОДЗ.
2. На промежутке (−∞; −2) дробь отрицательна: например, при x = −3 числитель положителен, а знаменатель отрицателен. При переходе через −2 знак меняется, через 1 меняется снова, а через 3 тоже меняется, поскольку все три корня имеют нечётную кратность.
3. Знак «минус» получается на промежутках (−∞; −2] и [1; 3). Нули числителя включаем из-за знака ≤, а точку 3 не включаем, поскольку там знаменатель равен нулю.

Ответ: (−∞; −2] ∪ [1; 3).

Задача 3. Решить систему (x − 1)/(x + 2) ≥ 0, (x + 3)/(x − 2) < 0.

1. Первое неравенство имеет критические точки −2 и 1. По методу интервалов его решение: (−∞; −2) ∪ [1; +∞), причём −2 запрещено знаменателем, а 1 включено по знаку ≥.
2. Во втором неравенстве критические точки −3 и 2. Дробь отрицательна между ними, поэтому решение — (−3; 2); обе границы исключены, так как неравенство строгое, а 2 к тому же обращает знаменатель в ноль.
3. Пересекаем найденные множества. Общие значения лежат от 1 до 2; число 1 входит в первое решение, а 2 не входит во второе.

Ответ: [1; 2).

Типичные ошибки

Ошибка: умножить обе части на выражение с неизвестным знаком и не изменить знак неравенства. Так делают, перенося привычный приём из уравнений, но множитель может оказаться отрицательным, а тогда знак должен измениться. Безопаснее привести выражение к сравнению дроби с нулём и применить метод интервалов; для проверки подставьте значения по разные стороны от нуля знаменателя.

Ошибка: включить в ответ точку, где знаменатель равен нулю. Её могут принять за обычную граничную точку, особенно если неравенство нестрогое, однако исходная дробь там не определена. Проверьте каждую границу по знаменателю исходного выражения: запрещённые значения должны быть исключены при любом знаке неравенства.

Ошибка: исключить нуль числителя при нестрогом неравенстве. Это происходит, когда все граничные точки по привычке оставляют открытыми, хотя при ≤ или ≥ нулевое значение подходит. Подставьте точку в исходную дробь: если знаменатель ненулевой и получается 0, точку нужно включить.

Ошибка: объединить решения неравенств системы вместо пересечения. Объединение оставляет значения, удовлетворяющие хотя бы одному условию, тогда как система требует выполнения всех условий одновременно. Чтобы проверить результат, возьмите любое число из ответа и подставьте его в каждое неравенство: если хотя бы одно не выполняется, ответ записан неверно.

Связь с другими темами

Для решения нужно уметь находить ОДЗ рационального выражения, раскладывать многочлены на множители и решать линейные неравенства. Метод интервалов опирается на представление числовой прямой и правила смены знака выражения. Системы рациональных неравенств полезны при исследовании функций и в задачах, где переменная должна одновременно удовлетворять нескольким ограничениям.

Что запомнить

• Сначала определяют область допустимых значений.
• Для метода интервалов находят нули числителя и знаменателя.
• Нули знаменателя всегда исключают.
• Нули числителя включают только при нестрогом неравенстве.
• Решение системы — пересечение решений входящих в неё неравенств.