3.3. Системы рациональных неравенств

Определения и обозначения

Рациональное неравенство — неравенство, в котором переменная входит в числитель или знаменатель рационального выражения. Например, (x − 2)/(x + 1) ≥ 0. Такие неравенства решают по знакам числителя и знаменателя.

Система рациональных неравенств — несколько рациональных неравенств, записанных вместе. Её решениями являются только общие решения всех неравенств системы. Поэтому в конце используют пересечение множеств, а не их объединение.

Область допустимых значений, или ОДЗ, — значения переменной, при которых знаменатели рациональных выражений не равны нулю. Нули знаменателей сразу исключают из ответа, потому что соответствующая дробь там не существует. ОДЗ проверяют до выбора промежутков.

Метод интервалов — способ определения знака рационального выражения на промежутках, разделённых его нулями и точками разрыва. Нули числителя и знаменателя называют ключевыми точками. Метод помогает быстро выбрать те интервалы, где выполняется нужное неравенство.

Как это устроено

Сначала находят ОДЗ, потому что рациональное выражение нельзя вычислить при нулевом знаменателе. Если сразу решать неравенство без этого ограничения, в ответ может попасть точка, где дробь не имеет смысла. Условие ≥ или ≤ не отменяет запрета деления на ноль.

Затем числитель и знаменатель раскладывают на множители. Так становятся видны нули числителя — места, где дробь может обратиться в ноль, и нули знаменателя — точки, где выражение не существует. Например, в выражении ((x − 1)(x + 2))/((x − 3)(x + 1)) ключевые точки равны −2, −1, 1 и 3.

Ключевые точки делят числовую прямую на интервалы. Внутри одного такого интервала ни один множитель не обращается в ноль и не меняет знак, поэтому постоянен и знак всей дроби. Достаточно выбрать по одному числу из каждого интервала, а не проверять все значения.

Знак дроби определяют по знакам множителей: произведение двух одинаковых знаков положительно, а разных — отрицательно. Можно поставить знаки над каждым множителем и перемножить их на выбранной точке. В ответ берут интервалы со знаком «+» для ≥ или > и со знаком «−» для ≤ или <.

После этого отдельно проверяют границы. Ноль числителя включают при нестрогом неравенстве, если он не является одновременно нулём знаменателя, а при строгом знаке исключают. Решение системы получают пересечением результатов всех неравенств и обязательно сохраняют ограничения ОДЗ.

Этапы решения системы рациональных неравенств

Таблица показывает общий порядок действий от ограничений до окончательного ответа. Ею удобно пользоваться как проверочным списком: каждый следующий этап опирается на предыдущий. В последней строке нужно оставить только общие части найденных множеств.

Разбор задач

Задача 1

Решим систему: (x − 2)/(x + 1) ≥ 0; x < 4. Первое неравенство содержит дробь, поэтому ограничения и знаки рассматриваем отдельно, а второе затем используем для пересечения.

1. ОДЗ: x + 1 ≠ 0, значит x ≠ −1. Ключевые точки: −1 и 2.
2. Методом интервалов получаем для первой дроби знак «+» на (−∞; −1) и (2; +∞), а ноль числителя x = 2 включаем: (−∞; −1) ∪ [2; +∞).
3. Пересекаем этот результат с условием x < 4. Получаем (−∞; −1) ∪ [2; 4).

Ответ: x ∈ (−∞; −1) ∪ [2; 4).

Задача 2

Решим систему: (x − 1)/(x + 2) > 0; (x + 3)/(x − 2) ≤ 0. Здесь нужно построить интервалы для каждой дроби отдельно, а затем найти их общую часть.

1. Для первой дроби ключевые точки −2 и 1, причём x = −2 запрещено. Знак «+» получается на (−∞; −2) и (1; +∞), поэтому ответ: (−∞; −2) ∪ (1; +∞).
2. Для второй дроби ключевые точки −3 и 2. Ноль числителя −3 включаем, а ноль знаменателя 2 исключаем, поэтому при знаке ≤ получаем [−3; 2).
3. Пересечение двух результатов равно [−3; −2), поскольку точка −2 не входит в ОДЗ первой дроби.

Ответ: x ∈ [−3; −2).

Задача 3

Решим систему: ((x − 1)(x + 2))/((x − 3)(x + 1)) ≥ 0; (x − 4)/(x − 2) < 0. В первом неравенстве четыре ключевые точки, поэтому особенно важно расставить их по порядку.

1. Для первой дроби точки: −2, −1, 1, 3. Нули знаменателя −1 и 3 выколоты, нули числителя −2 и 1 можно включить. Знаки дают решение (−∞; −2] ∪ (−1; 1] ∪ (3; +∞).
2. Для второй дроби точки 2 и 4. При строгом знаке отрицательный знак находится между ними, поэтому решение — (2; 4), обе границы исключены.
3. Пересекаем множества: общей частью (−∞; −2] ∪ (−1; 1] ∪ (3; +∞) и (2; 4) является промежуток (3; 4).

Ответ: x ∈ (3; 4).

Типичные ошибки

Ноль знаменателя включают в ответ. Так происходит, когда знак ≥ или ≤ ошибочно применяют ко всей дроби без проверки ОДЗ. Подставьте найденную границу в исходное выражение: если знаменатель равен нулю, точка всегда выколота.

Решения системы объединяют. Ученик берёт все подходящие интервалы из обоих неравенств, хотя каждое значение должно удовлетворять им одновременно. Проверьте любой итоговый промежуток подстановкой числа в каждое неравенство, а не только в одно.

Неправильно учитывают границы. Ноль числителя включают при строгом знаке или забывают исключить ноль знаменателя. Сверяйте каждую точку с исходным знаком: строгий знак даёт круглую скобку, нестрогий — квадратную, если точка допустима.

Считают, что знак меняется в каждой ключевой точке. Это неверно для корня чётной кратности: множитель меняет знак дважды и общий знак может сохраниться. Если множитель повторяется, учитывайте его кратность или проверяйте знаки пробной точкой.

Связь с другими темами

До этой темы нужны разложение многочленов на множители, свойства дробей, линейные неравенства и метод интервалов. Эти навыки позволяют находить ключевые точки и читать числовую прямую.

Рациональные неравенства пригодятся при исследовании рациональных функций: по знакам выражения можно определить, где график расположен выше или ниже оси x. Системы помогают одновременно учитывать несколько условий.

При решении рациональных уравнений и задач с ограничениями также находят ОДЗ. Даже найденный корень нужно проверить: он может обращаться в ноль знаменатель или нарушать другое условие задачи.

Что запомнить

• Сначала находят ОДЗ, затем решают неравенства.
• Нули знаменателя всегда исключаются из ответа.
• Ключевые точки — это нули числителя и знаменателя.
• Знак рационального выражения постоянен внутри каждого ключевого интервала.
• Для системы нужно пересечь решения всех неравенств.
• Границы включают или исключают по знаку неравенства.
• Собранный ответ необходимо проверить на ОДЗ.