3.2. Решение рациональных неравенств

Определения и обозначения

Рациональное неравенство — это неравенство, в котором есть рациональные выражения с переменной: многочлены, дроби или их комбинации. После переноса всех слагаемых в одну часть его стараются представить как одну дробь, сравниваемую с нулём. Это нужно, чтобы исследовать знак всего выражения, а не решать отдельные части вслепую.

Область допустимых значений (ОДЗ) — все значения переменной, при которых выражение имеет смысл. Из неё исключают значения, обращающие знаменатель любой дроби в ноль. ОДЗ записывают в начале решения, чтобы случайно не включить недопустимую точку в ответ.

Критические точки — это нули числителя и знаменателя после разложения выражения на множители. Они отмечаются на числовой прямой и разделяют её на промежутки. По этим точкам удобно исследовать знак дроби и определить границы решения.

Метод интервалов — способ решения неравенств, при котором на каждом промежутке между критическими точками находят знак выражения. Внутри такого промежутка знак не меняется, поэтому достаточно проверить одно подходящее число. Метод помогает получить весь ответ системно, без перебора множества значений.

Как это устроено

Сначала переносят все слагаемые в левую часть, приводят дроби к общему знаменателю и раскладывают числитель и знаменатель на множители. Если нужно умножить обе части на выражение с переменной, его знак заранее неизвестен, поэтому обычное умножение может нарушить равносильность. Безопаснее перенести всё в одну сторону и привести к виду дробь > 0, дробь < 0, дробь ≥ 0 или дробь ≤ 0, выполняя только равносильные преобразования.

Нули числителя делают дробь равной нулю, если знаменатель в этой точке существует. Поэтому при знаках ≥ и ≤ такие точки можно включить, а при знаках > и < их исключают. Нули знаменателя не включаются ни при каком знаке: в них исходное выражение не определено, даже если после сокращения получилась простая формула.

Критические точки располагают на числовой прямой в порядке возрастания и ставят между ними интервалы. На промежутке ни один множитель числителя или знаменателя не обращается в ноль и не меняет непрерывно свой знак через ноль. Поэтому знак всей дроби остаётся постоянным до ближайшей критической точки.

Знак дроби находят по правилу знаков: одинаковые знаки числителя и знаменателя дают плюс, разные — минус. Можно выбрать по одному числу из каждого промежутка и подставить его в разложенное выражение. Затем берут только промежутки с нужным знаком, добавляют допустимые нули числителя при нестрогом неравенстве и записывают результат объединением промежутков.

Этапы решения рационального неравенства методом интервалов

Таблица показывает порядок действий от преобразования до записи ответа. В третьем столбце указаны места, где чаще всего возникает ошибка. После заполнения всех этапов полезно отдельно проверить граничные точки по исходному неравенству.

Разбор задач

Задача 1

Условие: решить неравенство (x − 2)/(x + 1) > 0. Здесь нужно найти точки, где дробь равна нулю или не существует, а затем выбрать положительные промежутки.

1. ОДЗ: x + 1 ≠ 0, поэтому x ≠ −1. Нуль числителя: x − 2 = 0, значит x = 2.
2. Точки −1 и 2 делят прямую на промежутки (−∞; −1), (−1; 2), (2; +∞). При x = −2 числитель и знаменатель отрицательны, поэтому дробь положительна.
3. При x = 0 знаки числителя и знаменателя разные, дробь отрицательна. При x = 3 оба множителя положительны, дробь положительна.

Ответ: (−∞; −1) ∪ (2; +∞). Точка −1 исключена из-за знаменателя, а точка 2 не входит из-за строгого знака >.

Задача 2

Условие: решить неравенство (x + 3)(x − 1)/(x − 4) ≤ 0. Два нуля числителя могут стать границами с включением, а нуль знаменателя включить нельзя.

1. Критические точки: x = −3 и x = 1 — нули числителя, x = 4 — нуль знаменателя. ОДЗ: x ≠ 4.
2. Промежутки: (−∞; −3), (−3; 1), (1; 4), (4; +∞). Пробные значения −4, 0, 2 и 5 дают знаки соответственно −, +, −, +.
3. Нужны отрицательные промежутки и нулевые точки числителя. Поэтому −3 и 1 включаются, а 4 остаётся исключённой.

Ответ: (−∞; −3] ∪ [1; 4). Скобка в точке 4 круглая, потому что значение не входит в ОДЗ.

Задача 3

Условие: решить неравенство (x² − 4)/(x² − 5x + 6) ≥ 0. Сначала разложим многочлены: (x − 2)(x + 2)/((x − 2)(x − 3)).

1. Исходный знаменатель равен нулю при x = 2 и x = 3, поэтому ОДЗ: x ≠ 2, x ≠ 3. Множитель x − 2 можно сократить только при исследовании выражения, но ограничение x ≠ 2 сохраняется.
2. После сокращения знак определяется дробью (x + 2)/(x − 3), однако критическими остаются −2, 2 и 3. Знаки на промежутках (−∞; −2), (−2; 2), (2; 3), (3; +∞) равны +, −, −, +.
3. При нестрогом знаке включаем нуль числителя x = −2. Точки 2 и 3 исключаем, поскольку они запрещены исходным знаменателем.

Ответ: (−∞; −2] ∪ (3; +∞). Сокращение не отменяет ограничение x ≠ 2, хотя эта точка не стала границей выбранных промежутков.

Типичные ошибки

Включать в ответ значение, при котором знаменатель равен нулю, нельзя: дробь в такой точке не существует. Ошибку часто вызывает сокращённая запись, где знаменатель уже не виден. Проверьте каждую границу по исходному знаменателю и ОДЗ.

Нули числителя при нестрогом неравенстве иногда ошибочно удаляют. Если знаменатель не равен нулю, дробь в такой точке равна нулю и подходит для ≤ или ≥. Подставьте точку в исходное выражение и сравните полученное значение с нулём.

Знак меняется не при переходе через любую критическую точку. У множителя с чётной кратностью знак сохраняется, потому что множитель меняет знак дважды. Для проверки возьмите пробные числа слева и справа от точки.

При сокращении общих множителей забывают ограничения исходной дроби. Сокращённое выражение может быть определено там, где исходное не имеет смысла. Поэтому ОДЗ находят до сокращения и переносят в окончательный ответ.

Связь с другими темами

Перед решением нужны навыки нахождения ОДЗ дробно-рациональных выражений, поиска нулей многочлена и разложения на множители. Эти действия превращают сложную дробь в произведение простых множителей.

Также понадобятся правила сравнения чисел, знаки произведения и частного, а ещё умение изображать промежутки на числовой прямой. Без них трудно правильно расставить знаки и скобки.

Метод интервалов применяется не только к простым дробям. Он помогает решать более сложные рациональные неравенства и исследовать, где рациональное выражение положительно, отрицательно или равно нулю.

Что запомнить

• Сначала приведи неравенство к сравнению рационального выражения с нулём.
• Значения, обращающие знаменатель в ноль, всегда исключаются.
• Нули числителя и знаменателя разбивают числовую прямую на промежутки.
• На каждом промежутке знак выражения постоянен.
• При нестрогом неравенстве нули числителя можно включить в ответ, если выражение там определено.
• Ответ записывают как объединение подходящих промежутков и допустимых граничных точек.