3.1. Метод интервалов

Определения и обозначения

Метод интервалов — способ решать неравенства, разбивая числовую прямую точками, в которых выражение равно нулю или не определено. Вместо проверки множества значений переменной мы изучаем знак выражения на отдельных промежутках. Метод особенно удобен, когда выражение можно представить как произведение или дробь множителей.

Нуль выражения — значение переменной, при котором выражение обращается в нуль. Например, для x − 2 нулём будет x = 2. Такие значения нужны, чтобы найти места, в которых знак выражения может измениться, и обозначить границы промежутков при решении неравенства.

Критическая точка — точка, в которой выражение обращается в нуль или не определено, поэтому его знак по разные стороны может отличаться. Для дроби к критическим относятся нули числителя и знаменателя, но точки знаменателя запрещены. Их обязательно отмечают на прямой, чтобы не включить в ответ недопустимые значения.

Интервал знакопостоянства — промежуток, внутри которого выражение сохраняет один и тот же знак: оно либо положительно, либо отрицательно. Границы таких промежутков задаются критическими точками. Зная знак на каждом промежутке, можно выбрать именно те значения переменной, которые удовлетворяют неравенству.

Как это устроено

Сначала неравенство приводят к виду, где с одной стороны стоит нуль, а с другой — выражение, знак которого нужно исследовать. Если части неравенства перенести в одну сторону, условие можно записать, например, как произведение > 0 или дробь ≤ 0. Такая форма нужна, потому что знак произведения или дроби зависит от знаков отдельных множителей, а их нули и запрещённые значения можно явно найти.

Затем выражение раскладывают на множители, если это возможно. Нули числителя находят, приравнивая каждый множитель к нулю, а запрещённые значения — из условия, что знаменатель не равен нулю. Эти точки записывают по возрастанию: если перепутать порядок или забыть точку, неверно будут разбиты промежутки и выбраны знаки.

Критические точки делят числовую прямую на интервалы. Между соседними точками выражение непрерывно и не обращается в нуль, а значит, не может перейти от положительного значения к отрицательному, не пройдя через нуль. Поэтому на всём таком интервале знак постоянен, и его достаточно определить в одной удобной точке.

Знак можно узнать подстановкой пробного значения из каждого интервала. Если выражение разложено на линейные множители, можно использовать кратность корней: при переходе через корень нечётной кратности знак меняется, а через корень чётной кратности — сохраняется. Это правило следует из того, что нечётная степень множителя меняет знак вместе с самим множителем, а чётная степень остаётся неотрицательной по обе стороны корня.

На последнем шаге выбирают интервалы, где знак выражения соответствует условию, например «плюс» для > 0 или «минус» для < 0. При нестрогих знаках ≤ и ≥ нули числителя включают, потому что равенство нулю подходит условию. Нули знаменателя не включают ни при каком знаке: выражение в них не существует.

Этапы решения неравенства методом интервалов

Используйте таблицу как последовательность действий: переходите к следующему этапу, когда закончили предыдущий. Особенно внимательно проверяйте критические точки и их допустимость. Перед записью ответа сопоставьте отмеченные знаки с условием неравенства.

Разбор задач

Решить неравенство (x − 2)(x + 1) > 0.

Найдем нули множителей: x − 2 = 0 при x = 2, а x + 1 = 0 при x = −1. Они делят прямую на интервалы (−∞; −1), (−1; 2) и (2; +∞). Проверяем знак произведения: при x = −2 оба множителя отрицательны, при x = 0 они имеют разные знаки, при x = 3 оба положительны.

1. На интервалах (−∞; −1) и (2; +∞) произведение положительно, поэтому они подходят.
2. На промежутке (−1; 2) произведение отрицательно, значит, его исключаем.
3. Знак неравенства строгий, поэтому точки x = −1 и x = 2, где произведение равно нулю, не включаем.

Ответ: (−∞; −1) ∪ (2; +∞).

Решить неравенство (x − 1)²(x + 3) ≤ 0.

Нули выражения — x = 1 и x = −3, причём x = 1 является корнем чётной кратности 2. При переходе через него знак не меняется, а при переходе через x = −3 меняется, поскольку этот корень имеет нечётную кратность 1. Например, при x = −4 выражение отрицательно, поэтому на промежутке (−∞; −3) знак минус; после корня −3 он становится плюсом и остаётся таким по обе стороны от 1.

1. Отметим на прямой точки −3 и 1; знаменателя здесь нет, поэтому обе точки допустимы.
2. Условию ≤ 0 соответствует промежуток, где выражение отрицательно, а также его нули.
3. Добавим обе точки, поскольку неравенство нестрогое и выражение в них определено.

Ответ: (−∞; −3] ∪ {1}.

Решить неравенство ((x − 2)(x + 1))/(x − 4) ≥ 0.

Нули числителя: x = 2 и x = −1; знаменатель обращается в нуль при x = 4, поэтому эту точку нельзя включать. Упорядочиваем критические точки: −1, 2, 4. При x = −2 дробь отрицательна, а при переходе через каждую из этих точек знак меняется: все три линейных множителя входят в нечётной степени.

1. Знаки на интервалах (−∞; −1), (−1; 2), (2; 4), (4; +∞) соответственно: минус, плюс, минус, плюс.
2. Для условия ≥ 0 выбираем промежутки с плюсом и нули числителя −1 и 2.
3. Точку x = 4 исключаем, потому что в ней знаменатель равен нулю.

Ответ: [−1; 2] ∪ (4; +∞).

Типичные ошибки

Первая ошибка — включить в ответ нуль знаменателя, потому что после сокращения дроби он как будто исчез. Такое преобразование не отменяет ограничение исходного выражения: в запрещённой точке оно не определено. Проверьте, какие значения обращали исходный знаменатель в нуль, и исключите их из ответа.

Вторая ошибка — включить нуль выражения при строгом неравенстве. Так происходит, если ученик видит подходящий интервал, но забывает, что знаки > и < не допускают равенства нулю. Сверьте граничные точки с условием: нули числителя включают только при ≤ или ≥ и только когда выражение в них определено.

Третья ошибка — считать, что знак меняется при переходе через любой корень. У корня чётной кратности множитель меняет знак в чётной степени, поэтому знак всего выражения по сторонам может остаться прежним. Уточните кратность корня или проверьте по одному значению с каждой стороны.

Четвёртая ошибка — неверно упорядочить критические точки или пропустить одну из них. Тогда на прямой появляются неправильные интервалы, и даже верно проверенный знак относится не к тому промежутку. Перед исследованием знаков выпишите все точки отдельно, расположите их по возрастанию и пересчитайте число получившихся интервалов.

Связь с другими темами

Для метода интервалов нужно уметь раскладывать многочлены на множители, находить корни линейных выражений и решать простейшие неравенства. Эти знания позволяют быстро определить критические точки и понять, как множители влияют на знак произведения. Если разложение выполнено неверно, дальнейшее исследование знаков тоже окажется ошибочным.

Метод применяют при решении рациональных неравенств, где переменная встречается и в числителе, и в знаменателе. Он также помогает исследовать знак произведений и дробей без перебора всех значений переменной. Поэтому навык пригодится в задачах, где требуется указать целые промежутки решений.

Что запомнить

• Критические точки — нули числителя и значения, запрещённые областью определения.
• Критические точки делят числовую прямую на интервалы.
• На каждом таком интервале знак выражения постоянен.
• Через корень нечётной кратности знак меняется, через корень чётной кратности — нет.
• Нули включают только при нестрогом неравенстве и если выражение в них определено.
• Нули знаменателя в ответ не включают.