§ 3. Рациональные неравенства

Определения и обозначения

Рациональное неравенство — неравенство, в котором неизвестная входит в рациональное выражение, обычно в дробь из многочленов. Например, (x − 2)/(x + 1) > 0. Такие неравенства решают не перебором чисел, а исследованием знака выражения.

Область допустимых значений, или ОДЗ, — все значения переменной, при которых знаменатель рационального выражения не равен нулю. Для дроби (x − 2)/(x + 1) условие ОДЗ имеет вид x ≠ −1. Оно сразу показывает, какие числа нельзя включить в ответ.

Критические точки — это нули числителя и знаменателя. Они отмечаются на числовой прямой и разделяют её на промежутки, где знак выражения может быть разным. Нули знаменателя являются запрещёнными точками, а нули числителя проверяют по знаку неравенства.

Метод интервалов — способ решения неравенства по знакам рационального выражения на промежутках между критическими точками. Для каждого промежутка определяют знак дроби, а затем выбирают те промежутки, где неравенство выполняется. Этот метод особенно удобен, когда выражение разложено на множители.

Как это устроено

Сначала находят ОДЗ, потому что обращение знаменателя в ноль уничтожает смысл дроби. Например, при x = −1 выражение (x − 2)/(x + 1) не является ни положительным, ни отрицательным: оно просто не определено. Поэтому проверка знаменателя нужна до выбора промежутков.

Затем находят нули числителя и знаменателя и отмечают их на прямой. Эти числа называют критическими точками, потому что в них выражение либо равно нулю, либо не существует, а при переходе через них знак может измениться. Расположенные по возрастанию точки делят прямую на интервалы.

Внутри одного такого интервала знак каждого линейного множителя не меняется: он не может перейти из плюса в минус, не пройдя через ноль. Знаменатель также не обращается в ноль внутри интервала. Поэтому и знак всей дроби на таком промежутке постоянен, достаточно определить его один раз.

Знак можно найти подстановкой одной пробной точки в каждый интервал или анализом знаков множителей. Знак дроби получается из произведения знаков числителя и знаменателя: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус. После этого выбирают интервалы нужного знака, а граничные нули числителя включают только при нестрогом неравенстве; нули знаменателя не включают никогда.

Этапы решения рационального неравенства методом интервалов

Пользуйтесь таблицей как кратким алгоритмом: сначала отделяйте запрещённые значения, затем исследуйте знаки. В конце отдельно проверьте каждую граничную точку по виду неравенства. Это помогает не перепутать открытые и закрытые концы промежутков.

Разбор задач

Задача 1. Решить неравенство (x − 2)/(x + 1) > 0.

1. Знаменатель не равен нулю: x ≠ −1. Нуль числителя: x = 2.
2. Критические точки −1 и 2 делят прямую на интервалы (−∞; −1), (−1; 2), (2; +∞).
3. Пробные значения дают знаки: на первом интервале «плюс», на втором «минус», на третьем «плюс». Нужен положительный знак, поэтому берём первый и третий интервалы.
4. Точки −1 и 2 не включаются: первая запрещена, вторая даёт ноль, а не строго положительное число.

Ответ: (−∞; −1) ∪ (2; +∞).

Задача 2. Решить неравенство (x² − 5x + 6)/(x − 1) ≤ 0.

1. Разложим числитель: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Запрещённое значение x = 1, нули числителя — 2 и 3.
2. Точки 1, 2, 3 разбивают прямую на четыре интервала. Знаки дроби слева направо: «минус», «плюс», «минус», «плюс».
3. Выбираем интервалы с отрицательным знаком: (−∞; 1) и (2; 3). Так как неравенство нестрогое, нули числителя 2 и 3 включаем, а 1 исключаем.

Ответ: (−∞; 1) ∪ [2; 3].

Задача 3. Решить неравенство ((x − 1)²(x + 2))/((x − 3)(x + 1)) < 0.

1. Критические точки: −2 и 1 — нули числителя, −1 и 3 — нули знаменателя. Точка 1 имеет чётную кратность из-за квадрата.
2. В порядке возрастания получаем −2, −1, 1, 3. Знаки на интервалах слева направо: «плюс», «минус», «минус», «минус», «плюс».
3. Нужны отрицательные интервалы: (−2; −1), (−1; 1) и (1; 3). Точка 1 не включается из-за строгого знака, −1 и 3 запрещены, а −2 тоже исключается, поскольку выражение должно быть строго отрицательным.

Ответ: (−2; −1) ∪ (−1; 1) ∪ (1; 3). Знак около точки 1 не изменился: множитель (x − 1)² не меняет знак при переходе через свой нуль.

Типичные ошибки

Включают в ответ нуль знаменателя, потому что он отмечен среди критических точек. Критическая точка не обязательно допустима: значение, при котором знаменатель равен нулю, всегда исключают. Проверьте каждую границу подстановкой в исходную дробь.

Путают знак дроби со знаком только числителя или знаменателя. Знак определяется обоими множителями: плюс получается при одинаковых знаках, минус — при разных. Для самопроверки запишите знак числителя и знаменателя отдельно.

Неверно расставляют знаки на интервалах, не проверяя пробную точку или кратность корня. Особенно часто забывают, что квадратный множитель знак не меняет. Подставьте по одному числу или переходите через точки с учётом их кратности.

Включают или исключают нули числителя независимо от знака неравенства. При > и < нуль не подходит, а при ≥ и ≤ подходит, если знаменатель не равен нулю. Сначала определите вид сравнения, затем оформляйте скобки.

Связь с другими темами

Для решения рациональных неравенств нужны разложение многочленов на множители, а также решение линейных и квадратных уравнений. Полезно уверенно отмечать числа на координатной прямой и решать простейшие неравенства. Метод интервалов затем применяется при исследовании рациональных функций, решении систем и более сложных неравенств.

Что запомнить

• Сначала находят область допустимых значений.
• Критические точки — это нули числителя и знаменателя.
• Нули знаменателя в ответ не входят.
• На каждом промежутке между критическими точками знак выражения постоянен.
• Знак на промежутках определяют пробной точкой или по знакам множителей.
• Нули числителя включают только при нестрогом неравенстве.