2.5. Неравенства, сводящиеся к неравенствам второй степени

Определения и обозначения

Неравенство, сводящееся к квадратному, — это неравенство, которое после замены выражения превращается в неравенство второй степени относительно новой переменной. Например, x⁴ − 5x² + 4 ≤ 0 становится квадратным неравенством после обозначения x² через t. Такое сведение позволяет применять знакомые правила решения квадратных неравенств.

Замена переменной — введение новой переменной вместо повторяющегося сложного выражения. Если одно и то же выражение встречается несколько раз, его обозначают буквой t или другой буквой. Это сокращает запись и показывает строение неравенства.

Равносильное преобразование — преобразование, которое не изменяет множество решений неравенства. К таким действиям относятся, например, перенос слагаемых из одной части в другую с изменением знака и разложение на множители. При замене переменной равносильность сохраняется только тогда, когда учтены все ограничения.

Обратная замена — возвращение от новой переменной к исходной после решения квадратного неравенства. Если найдено t ≥ 4 при t = x², нужно решить x² ≥ 4. Без этого шага нельзя получить ответ для x.

Как это устроено

Сначала ищут выражение, которое повторяется в разных частях неравенства. Например, в выражении (x² − 2x)² − 3(x² − 2x) + 2 повторяется x² − 2x, а рядом стоит его квадрат. Если обозначить всю эту группу через t, сложное исходное выражение превращается в квадратный трёхчлен по t.

Ограничение на новую переменную записывают сразу, потому что она получена не произвольно, а из конкретного выражения. При t = x² справедливо t ≥ 0, ведь квадрат не бывает отрицательным. Для других выражений диапазон может быть иным, поэтому его находят отдельно до решения квадратного неравенства.

После подстановки решают полученное неравенство методом интервалов или по знакам квадратного трёхчлена. Если трёхчлен имеет корни 1 и 3 и старший коэффициент положителен, он положителен вне отрезка между корнями и отрицателен внутри него. Полученный промежуток затем рассматривают не на всей числовой прямой, а только среди допустимых значений t.

Проверка допустимости нужна потому, что квадратное неравенство по t может дать значения, которые невозможно получить из исходного выражения. Например, корень t = −2 нельзя использовать при t = x². После отбора решают уравнение или неравенство, связывающее t и x, и получают окончательное множество решений.

Диапазон новой переменной способен изменить ответ полностью или частично. Для t = x + 1/x при x ≠ 0 нельзя брать значения между −2 и 2, а для t = x² + px допустимы значения не меньше −p²/4. Поэтому итог находят пересечением решения квадратного неравенства с областью значений выбранного выражения.

Типичные замены при сведении неравенства к квадратному

Сначала сопоставьте исходное выражение со строкой таблицы и запишите подходящую замену. Затем найдите корни квадратного неравенства, пересеките результат с указанным диапазоном новой переменной и только после этого переходите к x. Если выражение отличается от приведённых примеров, отдельно установите его область значений.

Разбор задач

Задача 1. Решить неравенство x⁴ − 5x² + 4 ≤ 0.

Здесь повторяются x² и его квадрат x⁴, поэтому удобно заменить x² одной переменной. Такая замена уменьшает степень исходного неравенства с четвёртой до второй. Одновременно нужно помнить, что новая переменная неотрицательна.

1. Положим t = x², тогда t ≥ 0 и получим t² − 5t + 4 ≤ 0.
2. Разложим трёхчлен: (t − 1)(t − 4) ≤ 0. Значит, 1 ≤ t ≤ 4.
3. Этот промежуток уже согласован с условием t ≥ 0. Возвращаемся к x: 1 ≤ x² ≤ 4, откуда x ∈ [−2; −1] ∪ [1; 2].

Ответ: [−2; −1] ∪ [1; 2]. Проверка показывает, что на этих промежутках исходный трёхчлен не положителен.

Задача 2. Решить неравенство (x² − 2x)² − 3(x² − 2x) + 2 > 0.

Повторяющаяся группа x² − 2x встречается как в первой, так и во второй степени. Её минимальное значение нужно учесть заранее, иначе часть решений по t окажется невозможной. Это ограничение найдём, выделив квадрат.

1. Положим t = x² − 2x = (x − 1)² − 1, поэтому t ≥ −1.
2. Получаем t² − 3t + 2 > 0, или (t − 1)(t − 2) > 0. Отсюда t < 1 или t > 2.
3. Пересекаем с t ≥ −1: −1 ≤ t < 1 или t > 2. Возвращаемся к x: −1 ≤ x² − 2x < 1 либо x² − 2x > 2 и решаем эти неравенства.

Ответ: [1 − √2; 0) ∪ (2 − √3; 1 + √3) ∪ (2; 1 + √2). Точки x = 0 и x = 2 распределяются по проверке исходных условий неравенств.

Задача 3. Решить неравенство (x + 1/x)² − 5(x + 1/x) + 6 ≥ 0, x ≠ 0.

Повторяется выражение x + 1/x, поэтому обозначим его через t. В отличие от квадрата, оно не принимает все действительные значения: его модуль не меньше 2. Это ограничение нужно совместить с решением по t.

1. Положим t = x + 1/x, где x ≠ 0, и учтём: t ≤ −2 или t ≥ 2.
2. Получаем t² − 5t + 6 ≥ 0, то есть (t − 2)(t − 3) ≥ 0. Поэтому t ≤ 2 или t ≥ 3.
3. После отбора остаются t ≤ −2, t = 2 и t ≥ 3. Для каждого случая решаем x + 1/x = t или соответствующее неравенство, не забывая x ≠ 0.

Ответ: x ∈ (−∞; 0) ∪ [2 − √3; 2 + √3] ∪ [3 + √5; ∞). Отрицательные x подходят полностью, а на положительной полуоси результат получается после решения отобранных условий.

Типичные ошибки

Не записывают ограничение на t. Тогда в решение попадают значения, которые исходное выражение получить не может. После каждой замены сразу задавайте вопрос: какие значения принимает правая часть?

Считают, что при t = x² допустимы все действительные числа. Отрицательное t невозможно, потому что квадрат действительного числа неотрицателен. Проверить себя можно подстановкой любого действительного x в равенство t = x².

Забывают обратную замену. Решение по t является только промежуточным результатом и не отвечает на вопрос о x. В конце обязательно перепишите условие через исходную переменную и решите его.

Неверно выполняют обратный переход или игнорируют ОДЗ. При решении полученных неравенств можно потерять знак, границу или запрет x = 0. Проверьте концы промежутков и подставьте несколько точек в исходное неравенство.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны формулы сокращённого умножения, решение квадратных неравенств и метод интервалов. Они помогают быстро разложить трёхчлен и определить его знаки.

Приём используется в биквадратных, рациональных и других сложных неравенствах. Позже он пригодится при исследовании функций и решении систем неравенств.

Отдельный навык — находить область значений выражений x² и x + 1/x. Именно он определяет, какие корни по новой переменной можно оставить.

Что запомнить

• Сначала найди повторяющееся выражение, затем введи новую переменную.
• Ограничения на новую переменную записывают сразу после замены.
• После замены должно получиться квадратное неравенство.
• Решение квадратного неравенства нужно пересечь с допустимыми значениями новой переменной.
• В конце обязательно выполняют обратную замену.
• ОДЗ исходного неравенства сохраняется на всех этапах решения.