2.4. Неравенства второй степени с отрицательным дискриминантом

Определения и обозначения

Квадратный трёхчлен — выражение ax² + bx + c, где a ≠ 0. Число a называют старшим коэффициентом, b — коэффициентом при x, а c — свободным членом. По этим коэффициентам составляют дискриминант и определяют, как расположен график трёхчлена.

Дискриминант — число D = b² − 4ac, вычисляемое по коэффициентам квадратного трёхчлена. По его значению определяют, сколько действительных корней имеет уравнение ax² + bx + c = 0: при D < 0 корней нет, при D = 0 один корень, при D > 0 два. Для квадратных неравенств это помогает понять, пересекает ли график ось x.

Неравенство второй степени — неравенство, в котором переменная входит в квадратный трёхчлен ax² + bx + c. Например, x² + 2x + 5 > 0 — неравенство второй степени, потому что в выражении есть x². Его решение — все значения переменной, при которых неравенство становится верным.

Отрицательный дискриминант — условие D < 0 для квадратного трёхчлена. Оно означает, что уравнение ax² + bx + c = 0 не имеет действительных решений. Значит, трёхчлен не равен нулю ни при каком действительном x, и его знак можно установить по коэффициенту a.

Как это устроено

График выражения y = ax² + bx + c — парабола, а её пересечения с осью x отвечают решениям уравнения ax² + bx + c = 0. Если D < 0, действительных решений этого уравнения нет, поэтому парабола не пересекает ось x. Иными словами, ни для какого действительного x значение трёхчлена не становится нулём.

Почему отсутствие нулей означает постоянный знак? Квадратный трёхчлен задаёт непрерывную функцию: при плавном изменении x её значения не перескакивают с положительных на отрицательные. Чтобы знак сменился, графику пришлось бы пройти через значение y = 0, то есть пересечь ось x. При D < 0 этого не происходит, поэтому знак один и тот же на всей числовой прямой.

Остаётся определить, какой именно это знак. Старший коэффициент a задаёт направление ветвей параболы: при a > 0 они направлены вверх, а при a < 0 — вниз. Если ветви направлены вверх и парабола не пересекает ось x, она целиком лежит выше неё; если вниз — целиком ниже. Значит, при D < 0 знак трёхчлена совпадает со знаком a.

Теперь можно сразу решать строгие неравенства. При a > 0 трёхчлен положителен для каждого действительного x, поэтому неравенство ax² + bx + c > 0 имеет все действительные числа в качестве решений, а ax² + bx + c < 0 решений не имеет. При a < 0 всё наоборот: неравенство со знаком < 0 верно при всех x, а со знаком > 0 не имеет решений.

Для нестрогих неравенств действует тот же вывод. Знаки ≥ и ≤ допускают равенство нулю, но при D < 0 трёхчлен нулю не равен, так что добавить к решениям нечего. Поэтому ax² + bx + c ≥ 0 имеет те же решения, что и ax² + bx + c > 0, а ax² + bx + c ≤ 0 — те же, что и ax² + bx + c < 0.

На графике видно, почему знак не меняется: парабола y = x² + 1 целиком выше оси x, а y = −x² − 1 целиком ниже неё. У обеих парабол нет точек пересечения с осью x, но направление ветвей и знак значений различаются.

Знак квадратного трёхчлена и решения неравенств при D < 0

Сначала убедись, что D < 0, затем найди знак старшего коэффициента a. Сравни его со знаком в неравенстве и выбери нужную клетку таблицы. «Все действительные x» означает, что решением служит любое действительное число.

Разбор задач

Задача 1. Решить неравенство x² + 2x + 5 > 0.

1. Сопоставим выражение с ax² + bx + c: a = 1, b = 2, c = 5. Коэффициент a не равен нулю, значит, перед нами квадратный трёхчлен.
2. Вычислим дискриминант: D = 2² − 4 · 1 · 5 = 4 − 20 = −16. Он отрицателен, поэтому трёхчлен не имеет действительных корней и сохраняет знак.
3. Так как a = 1 > 0, трёхчлен положителен при любом x. Требуется именно знак > 0, следовательно, подходят все действительные числа.

Ответ: x ∈ ℝ.

Задача 2. Решить неравенство −2x² + 4x − 5 ≤ 0.

1. Определим коэффициенты: a = −2, b = 4, c = −5. Старший коэффициент не равен нулю, поэтому выражение является квадратным трёхчленом.
2. Найдём дискриминант: D = 4² − 4 · (−2) · (−5) = 16 − 40 = −24. Так как D < 0, нулей у трёхчлена нет.
3. Коэффициент a отрицателен, значит, трёхчлен отрицателен при всех x. Условие ≤ 0 выполняется, а возможность равенства нулю ничего не меняет: нулей нет.

Ответ: x ∈ ℝ.

Задача 3. Решить неравенство 3x² − 6x + 4 < 0.

1. Здесь a = 3, b = −6, c = 4. Сначала проверим дискриминант: D = (−6)² − 4 · 3 · 4 = 36 − 48 = −12, поэтому действительных корней нет.
2. Старший коэффициент положителен: a = 3 > 0. Следовательно, весь трёхчлен положителен при любом действительном x.
3. В неравенстве требуется, чтобы трёхчлен был меньше нуля. Он всегда положителен, поэтому ни одно значение x не подходит.

Ответ: решений нет.

Типичные ошибки

Ошибка: по одному условию D < 0 делают вывод о знаке трёхчлена. Дискриминант сообщает об отсутствии корней, но не показывает, выше или ниже оси x лежит парабола; это определяет ещё и знак a. Проверяй себя: после вычисления D обязательно выпиши знак старшего коэффициента и только затем выбери знак выражения.

Ошибка: не проверяют, что a ≠ 0. Если a = 0, член с x² исчезает, и выражение уже не является квадратным трёхчленом, поэтому правило этого параграфа применять нельзя. Перед вычислением дискриминанта сверь исходное выражение с видом ax² + bx + c и убедись, что коэффициент при x² ненулевой.

Ошибка: при a < 0 считают трёхчлен положительным, потому что забывают о направлении ветвей параболы. Отрицательный старший коэффициент означает, что ветви направлены вниз; если корней нет, график целиком ниже оси x. Для проверки достаточно сопоставить знак a и знак значений трёхчлена: при D < 0 они совпадают.

Ошибка: считают, что строгие и нестрогие неравенства обязательно имеют разные решения. Различие между знаками < и ≤ проявляется только там, где выражение может быть равно нулю, а при D < 0 таких точек нет. Проверь вычисленный дискриминант: если он отрицателен, переход от строгого знака к нестрогому множество решений не меняет.

Связь с другими темами

Для решения таких неравенств нужно уметь вычислять дискриминант и по его знаку определять число действительных корней квадратного уравнения. Также пригодятся знания о параболе: старший коэффициент задаёт направление её ветвей, а знак функции показывает, выше или ниже оси x расположен график. Этот способ — часть общего метода решения квадратных неравенств; при D ≥ 0 дополнительно учитывают точки, в которых трёхчлен обращается в ноль.

Что запомнить

• При D < 0 квадратный трёхчлен не имеет действительных корней.
• Если D < 0, знак трёхчлена одинаков при всех действительных x.
• При D < 0 знак трёхчлена совпадает со знаком старшего коэффициента a.
• Если a > 0, трёхчлен положителен при всех x.
• Если a < 0, трёхчлен отрицателен при всех x.
• При D < 0 нестрогие неравенства дают те же решения, что и соответствующие строгие.