2.3. Неравенства второй степени с дискриминантом, равным нулю

Определения и обозначения

Неравенство второй степени — это неравенство вида ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c < 0 или с нестрогим знаком, где a ≠ 0. Выражение ax² + bx + c называют квадратным трёхчленом. Такой вид нужен, чтобы исследовать знак выражения по его корням и коэффициенту a.

Дискриминант квадратного трёхчлена — число D = b² − 4ac. По нему определяют, сколько действительных корней имеет соответствующее квадратное уравнение и как расположена парабола относительно оси Ox. Для нашей темы главное условие — D = 0.

Нулевой дискриминант — условие D = 0, при котором квадратный трёхчлен имеет один действительный корень. Он не означает, что корней нет: два корня совпадают в одном значении. Поэтому знак выражения меняется не так, как при двух разных корнях.

Двукратный корень — корень x₀ = −b/(2a), который встречается дважды. При D = 0 трёхчлен можно записать как a(x − x₀)². Такая запись сразу показывает, где выражение равно нулю и каким будет его знак.

Как это устроено

Если D = 0, корень квадратного уравнения равен x₀ = −b/(2a). Подставляя это значение в общий вид трёхчлена и группируя слагаемые, получают ax² + bx + c = a(x − x₀)². Раскрытие скобок даёт ax² − 2ax₀ + ax₀², а из формулы x₀ следует совпадение коэффициентов.

График функции y = a(x − x₀)² — парабола с вершиной в точке (x₀, 0). Её вершина лежит на оси Ox, поэтому график имеет с осью общую точку x₀. Квадрат не становится отрицательным ни слева, ни справа от x₀, значит, парабола не пересекает ось, а касается её.

Квадрат (x − x₀)² положителен при x ≠ x₀ и равен нулю при x = x₀. Поэтому при a > 0 произведение a(x − x₀)² положительно по обе стороны от корня, а при a < 0 — отрицательно по обе стороны. Знак не меняется при переходе через x₀, потому что множитель-квадрат сохраняет свой знак.

Если a > 0, умножение неотрицательного квадрата на положительное число даёт неотрицательный результат на всей числовой прямой. Если a < 0, тот же квадрат умножается на отрицательное число, и результат становится неположительным. При строгом неравенстве нулевую точку нужно исключить, а при нестрогом — включить, если равенство разрешено.

Решение неравенств второй степени при D = 0

Сначала определите знак коэффициента a и найдите x₀. Затем сравните знак выражения с требованием неравенства: точка x₀ является единственным местом, где квадрат равен нулю. Таблица помогает сразу выбрать промежуток, всю числовую прямую или пустое множество.

Разбор задач

Задача 1. Решите неравенство x² − 6x + 9 > 0.

Нужно понять, когда квадратный трёхчлен положителен. Его удобно сразу представить квадратом разности, потому что свободный член и средний коэффициент образуют полный квадрат.

1. Разложим трёхчлен: x² − 6x + 9 = (x − 3)².
2. Квадрат положителен для всех x, кроме x = 3, где он равен нулю.
3. Строгий знак > 0 исключает эту точку.

Ответ: x ∈ (−∞; 3) ∪ (3; +∞).

Задача 2. Решите неравенство −2x² + 8x − 8 ≤ 0.

Отрицательный старший коэффициент меняет привычную картину: парабола направлена вниз. Вынесем −2, чтобы знак выражения был виден через квадрат.

1. Получаем −2x² + 8x − 8 = −2(x² − 4x + 4) = −2(x − 2)².
2. Квадрат неотрицателен, поэтому после умножения на −2 выражение неположительно при любом x.
3. Знак ≤ допускает равенство при x = 2, поэтому ограничений нет.

Ответ: x ∈ ℝ.

Задача 3. Решите неравенство ½x² − 3x + 9/2 ≥ 0.

Проверим условие D = 0 и найдём точку, где выражение обращается в ноль. Это позволит не ошибиться со знаком и включением корня.

1. D = (−3)² − 4 · ½ · 9/2 = 9 − 9 = 0.
2. Корень x₀ = −(−3)/(2 · ½) = 3, а выражение равно ½(x − 3)².
3. Коэффициент положителен, значит, выражение неотрицательно при всех x. Знак ≥ включает точку x = 3.

Ответ: x ∈ ℝ.

Типичные ошибки

Ошибка 1. При D = 0 иногда записывают только точку x₀. Но точка является ответом лишь в некоторых неравенствах: знак a может дать все действительные числа или пустое множество. Проверьте знак выражения по форме a(x − x₀)².

Ошибка 2. Забывают учесть коэффициент a и применяют правило для параболы, направленной вверх. При a < 0 знак меняется на противоположный. Перед решением отдельно запишите, положителен или отрицателен a.

Ошибка 3. Корень включают при строгом знаке или исключают при нестрогом. Подставьте x₀ в исходное выражение: оно равно нулю, поэтому точка включается только при ≥ или ≤.

Ошибка 4. Двукратный корень ошибочно записывают как a(x − x₀)(x + x₀). Такое разложение даёт корни x₀ и −x₀. При D = 0 правильная запись — a(x − x₀)².

Связь с другими темами

До изучения темы нужны формула D = b² − 4ac, формула корней квадратного уравнения и свойства квадрата числа. График квадратичной функции помогает проверить решение: при D = 0 парабола касается оси Ox в точке x₀. В дальнейшем эти правила пригодятся при решении систем и совокупностей неравенств, а также при исследовании квадратичных функций.

Что запомнить

• При D = 0 квадратный трёхчлен имеет единственный двукратный корень x₀ = −b/(2a).
• Квадратный трёхчлен представляется в виде a(x − x₀)².
• Если a > 0, трёхчлен неотрицателен при всех x и равен нулю только при x = x₀.
• Если a < 0, трёхчлен неположителен при всех x и равен нулю только при x = x₀.
• В строгом неравенстве точка x₀ не включается.
• В нестрогом неравенстве точка x₀ включается, если знак допускает равенство.
• Знак коэффициента a определяет множество решений.