"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Неравенство второй степени содержит квадрат переменной, поэтому его знак зависит от корней трёхчлена и направления ветвей параболы. Если дискриминант положителен, существуют два различных корня, которые делят числовую прямую на три промежутка. Достаточно выяснить, где выражение положительно, а где отрицательно, и учесть, нужно ли включать корни в ответ. Такой способ помогает быстро решать неравенства и исследовать квадратичные функции.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Неравенство второй степени — неравенство вида ax² + bx + c > 0, < 0, ≥ 0 или ≤ 0, где a ≠ 0. Выражение ax² + bx + c называют квадратным трёхчленом. Эта запись помогает понять, что неизвестная входит во второй степени и для решения нужно изучить знак трёхчлена.
Положительный дискриминант — условие D = b² − 4ac > 0, при котором квадратный трёхчлен имеет два различных действительных корня. Дискриминант вычисляют до решения неравенства, чтобы узнать, сколько точек пересечения графика с осью x предстоит отметить.
Корни квадратного трёхчлена — числа x₁ и x₂, при которых ax² + bx + c = 0; их располагают в порядке x₁ < x₂. Эти точки являются границами промежутков, на которых исследуют знак выражения, поэтому порядок корней должен быть указан верно.
Метод интервалов — способ определения знака квадратного трёхчлена на промежутках, разделённых его корнями. На каждом таком промежутке знак не меняется, поэтому достаточно установить его по расположению параболы или по знаку коэффициента a. Затем выбирают промежутки, подходящие к знаку неравенства.
При D > 0 корни находят по формуле x₁,₂ = (−b ± √D) / 2a. Из двух полученных значений сначала определяют меньшее, затем большее: x₁ < x₂. На координатной прямой отмечают обе точки, потому что именно они показывают, где трёхчлен обращается в ноль и где нужно разделить прямую на промежутки.
Корни делят прямую на три части: x < x₁, x₁ < x < x₂ и x > x₂. Внутри каждой части трёхчлен непрерывен и не обращается в ноль, поэтому он не может перейти от положительных значений к отрицательным, не пройдя через ноль. А нулей внутри промежутка нет: оба корня уже отмечены на его границах. Значит, на каждом промежутке знак остаётся одним и тем же.
Знак между корнями и вне их связан с коэффициентом a. При a > 0 парабола направлена ветвями вверх: за корнями она поднимается над осью x, а между ними проходит ниже оси. При a < 0 ветви направлены вниз, поэтому над осью график оказывается между корнями, а вне корней — под осью. Это позволяет определить знаки сразу, не подставляя в трёхчлен числа из каждого промежутка.
График y = ax² + bx + c показывает тот же принцип: значения функции выше оси x положительны, а ниже — отрицательны. Направление ветвей задаётся знаком a: положительное значение означает ветви вверх, отрицательное — вниз. Поскольку при D > 0 график пересекает ось x в двух точках, знаки на трёх промежутках чередуются.
Если неравенство строгое, его знак — > или < — не допускает равенства нулю, поэтому x₁ и x₂ в ответ не входят. В нестрогом неравенстве ≥ или ≤ нулевые значения подходят, и корни включают. На прямой это обычно показывают пустыми точками для строгого условия и закрашенными для нестрогого.
| Вид неравенства | a > 0 | a < 0 |
|---|---|---|
| ax² + bx + c > 0 | вне корней | между корнями |
| ax² + bx + c ≥ 0 | вне корней вместе с корнями | между корнями |
| ax² + bx + c < 0 | между корнями | вне корней |
| ax² + bx + c ≤ 0 | между корнями вместе с корнями | вне корней вместе с корнями |
Найди строку с нужным знаком неравенства и столбец со знаком коэффициента a. Перенеси указанные промежутки в ответ, помня, что «вне корней» означает x < x₁ или x > x₂. Для строгих знаков границы исключают, для нестрогих включают.
Ответ: x < 2 или x > 3.
Ответ: x ≤ −½ или x ≥ 2.
Ответ: −⅔ < x < ½.
Если перепутать порядок корней и записать x₁ > x₂, промежутки окажутся обозначены неверно, и можно выбрать не ту часть прямой. Так случается, когда значения из формулы не сравнивают, особенно если они дробные. Проверь себя: x₁ всегда должен быть меньшим корнем, то есть стоять слева от x₂.
Выбор внутреннего промежутка при a > 0 или внешнего при a < 0 противоречит направлению ветвей параболы. Обычно это происходит, когда запоминают только слово «корни», но не связывают знак с коэффициентом a. Нарисуй схему параболы или проверь подходящий промежуток подстановкой любого числа.
Включение корней в строгом неравенстве даёт лишние значения, а исключение их из нестрогого — теряет подходящие. Причина в том, что в корнях трёхчлен равен нулю, а не положителен или отрицателен. Сверь ответ со знаком: > и < исключают границы, ≥ и ≤ включают.
При делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства нужно изменить на противоположный. Если этого не сделать, получится условие для неверной части числовой прямой. Проверяй знак множителя до деления; при решении через корни и интервалы делить неравенство на a вообще не требуется.
Для решения нужны формула дискриминанта, формула корней квадратного уравнения и умение сравнивать числа. Без правильного нахождения корней нельзя верно разделить числовую прямую на промежутки. С графиком квадратичной функции тема связана через расположение параболы выше или ниже оси x: это показывает, где функция положительна или отрицательна.
Метод пригодится при решении систем неравенств: ответы нескольких условий нужно пересечь. Он помогает учитывать ограничения в задачах и исследовать, при каких значениях аргумента квадратичная функция принимает заданные значения. Поэтому умение находить промежутки знакопостоянства полезно не только для отдельных неравенств.
Почему при положительном дискриминанте обязательно получаются два корня?
В формуле корней квадратного уравнения под корнем стоит дискриминант. Если D > 0, квадратный корень из D — положительное число, поэтому в формуле получаются два разных значения: одно с плюсом, другое с минусом.
Как понять, где ставить знаки «плюс» и «минус» на интервалах?
Сначала расположи корни слева направо, а затем определи знак старшего коэффициента a. При a > 0 на внешних промежутках знак «плюс», а между корнями — «минус»; при a < 0 наоборот.
Почему при a > 0 знак между корнями отрицательный?
Парабола с a > 0 направлена ветвями вверх и пересекает ось x в двух корнях. Между точками пересечения её график находится ниже оси x, поэтому значения трёхчлена там отрицательны.
Нужно ли включать корни в ответ?
В строгих неравенствах со знаками > или < корни не включают: в них трёхчлен равен нулю. В нестрогих неравенствах со знаками ≥ или ≤ корни включают.
Можно ли решить такое неравенство только с помощью графика параболы?
Да. По графику видно, где парабола расположена выше оси x, а где ниже, то есть где трёхчлен положителен или отрицателен. Но корни и их включение в ответ всё равно нужно определить точно.
2.2. Неравенства второй степени с положительным дискриминантом
