2.1. Понятие неравенства второй степени с одним неизвестным .

Определения и обозначения

Неравенство второй степени с одним неизвестным — неравенство, которое после переноса всех членов в одну часть имеет вид ax² + bx + c > 0, < 0, ≥ 0 или ≤ 0, где a ≠ 0. Буква x обозначает неизвестное, а a, b и c — числа. Такое приведение позволяет сосредоточиться на знаке одного выражения.

Квадратный трёхчлен — выражение ax² + bx + c, где a ≠ 0. Его называют квадратным, потому что в нём есть переменная во второй степени, а коэффициент a определяет направление ветвей параболы. Именно знак этого выражения нужно исследовать при решении неравенства.

Решение неравенства — значение неизвестного, при котором неравенство становится верным. Например, если после подстановки числа левая часть оказывается положительной, это число подходит для условия «больше нуля». Проверка отдельного значения помогает понять смысл ответа, хотя обычно нужно найти все подходящие значения.

Множество решений неравенства — все значения неизвестного, удовлетворяющие неравенству; его записывают в виде промежутков или объединения промежутков. Так можно показать сразу целые участки числовой прямой, а не перечислять бесконечно много чисел. Круглая скобка означает, что граница не входит в промежуток, квадратная — что входит.

Как это устроено

Все члены переносят в одну часть, чтобы получить выражение, сравниваемое с нулём. Это удобно потому, что знак разности двух частей показывает, какая из них больше: например, A > B равносильно A − B > 0. Коэффициент при x² должен быть ненулевым, иначе квадратный член исчезает и задача перестаёт быть неравенством второй степени.

Знак неравенства задаёт, какие значения трёхчлена нужно отобрать. При f(x) > 0 подходят значения, для которых трёхчлен положителен, а при f(x) < 0 — отрицателен. Знаки ≥ и ≤ разрешают также равенство нулю, поэтому при них могут подходить корни трёхчлена.

Корни квадратного трёхчлена — значения x, при которых он равен нулю; на числовой прямой они становятся границами промежутков. Почему знак постоянен между соседними корнями? Трёхчлен непрерывен, поэтому для смены знака внутри такого промежутка ему пришлось бы обратиться в ноль ещё раз, а это означало бы новый корень. Чтобы определить знак на промежутке, достаточно проверить любое одно значение из него.

График функции y = ax² + bx + c — парабола, и ось x показывает, где значение y равно нулю. Поэтому расположение параболы сразу подсказывает знак выражения: выше оси значения положительны, ниже — отрицательны. Например, график y = x² − 5x + 6 пересекает ось x при x = 2 и x = 3, лежит ниже неё между этими точками и выше — снаружи.

Строгое неравенство требует положительного или отрицательного значения, а ноль не является ни положительным, ни отрицательным числом. Поэтому точки, в которых трёхчлен равен нулю, не входят в ответ для знаков > и <. При нестрогих знаках ≥ и ≤ ноль подходит, так что корни включают, если они есть.

Виды неравенств второй степени и условие на знак квадратного трёхчлена

Сначала определите, какой знак трёхчлена требуется, а затем выберите соответствующую строку таблицы. Для строгого знака точки равенства исключаются, для нестрогого — включаются. Строка с равенством помогает найти границы, на которых знак выражения может измениться.

Разбор задач

Задача 1. Определить, является ли неравенство 3x² − 5x + 1 > 0 неравенством второй степени с одним неизвестным, и назвать его квадратный трёхчлен. Проверим, удовлетворяет ли запись определению. Затем выделим выражение, знак которого требуется определить.

1. В записи есть одна переменная x, причём она входит во второй степени.
2. Коэффициент при x² равен 3, а значит, он не равен нулю. Неравенство уже приведено к виду квадратного трёхчлена, сравниваемого с нулём.
3. Квадратный трёхчлен — 3x² − 5x + 1; условие требует найти значения x, при которых он положителен.

Ответ: да, это неравенство второй степени с одним неизвестным; его квадратный трёхчлен — 3x² − 5x + 1. На этом этапе требуется распознать вид неравенства, а не находить его решения.

Задача 2. По графику функции y = x² − 5x + 6 определить, при каких x выполняется x² − 5x + 6 ≤ 0. Знак ≤ означает, что подходят отрицательные и нулевые значения. Поэтому ищем участки, где парабола расположена не выше оси x.

1. Из графика видны точки пересечения с осью x: x = 2 и x = 3. В них значение трёхчлена равно нулю.
2. Между точками 2 и 3 график находится ниже оси x, значит, трёхчлен отрицателен на этом промежутке.
3. Так как неравенство нестрогое, точки пересечения тоже подходят. Записываем промежуток с включёнными границами.

Ответ: x ∈ [2; 3]. Корни не просто отмечены на графике: они входят в ответ именно потому, что знак неравенства допускает равенство нулю.

Задача 3. Определить множество решений неравенства 2x² − 7x + 3 > 0. Здесь нужно найти участки, на которых трёхчлен положителен, а равенство нулю не подходит. Начинаем с нахождения границ возможных промежутков — корней.

1. Решаем уравнение 2x² − 7x + 3 = 0. Его корни: x = ½ и x = 3.
2. Корни делят прямую на промежутки (−∞; ½), (½; 3) и (3; +∞). Проверим знак на каждом: при x = 0 трёхчлен равен 3, значит, слева он положителен.
3. При x = 1 трёхчлен равен −2, поэтому между корнями знак отрицательный. Так как коэффициент при x² положителен, справа знак положительный; это можно также проверить подстановкой x = 4.
4. Выбираем промежутки с положительным знаком. Корни исключаем, поскольку неравенство строгое.

Ответ: x ∈ (−∞; ½) ∪ (3; +∞). Корни здесь служат границами выбранных промежутков, но сами не являются решениями.

Типичные ошибки

Иногда линейное неравенство принимают за неравенство второй степени, потому что в нём есть x. Но наличие переменной ещё не означает наличие второй степени: если коэффициент при x² равен нулю, квадратного члена нет. Перед решением проверьте старшую степень и её коэффициент; для второй степени он должен быть отличен от нуля.

Другая ошибка — перепутать знак трёхчлена с направлением ветвей параболы. Направление ветвей показывает, как выглядит график в целом, но положительные значения находятся именно выше оси x, а отрицательные — ниже неё. Отметьте ось и точки пересечения, затем проверьте, какие участки отвечают заданному знаку.

При строгом неравенстве иногда включают корни, а при нестрогом — исключают. Это происходит, когда ученик ориентируется только на вид промежутка и забывает подставить корень: в нём трёхчлен равен нулю. Проверьте знак условия: > и < исключают равенство, ≥ и ≤ допускают его.

Наконец, ответ нередко ограничивают корнями квадратного трёхчлена. Корни решают уравнение f(x) = 0, тогда как неравенство обычно выполняется на целых промежутках. После нахождения корней разбейте ими прямую, определите знак на каждом участке и запишите все подходящие значения x.

Связь с другими темами

Чтобы уверенно разбирать неравенства второй степени, нужно знать квадратный трёхчлен, решение квадратного уравнения и смысл дискриминанта: они помогают находить корни и выяснять, существуют ли они. Также понадобятся числовая прямая, отметка точек и запись промежутков. Дальше эти умения используются при решении систем неравенств, в графическом методе и в прикладных задачах, где требуется учитывать ограничения на величины.

Что запомнить

• Неравенство второй степени содержит неизвестное во второй степени, причём коэффициент при x² не равен нулю.
• Стандартный вид: ax² + bx + c > 0, < 0, ≥ 0 или ≤ 0.
• Корни квадратного трёхчлена являются границами промежутков возможных решений.
• На каждом промежутке между корнями знак квадратного трёхчлена постоянен.
• Строгие неравенства не включают точки, где выражение равно нулю.
• Нестрогие неравенства включают такие точки.
• Решение записывают множеством значений x, а не только отдельными корнями.