§ 2. Неравенства второй степени с одним неизвестным

Определения и обозначения

Квадратное неравенство — неравенство вида ax² + bx + c > 0 или с другим знаком сравнения, где a ≠ 0. Здесь x — неизвестное, а a, b и c — числа. Решить такое неравенство означает найти все значения x, при которых оно верно.

Квадратный трёхчлен — выражение ax² + bx + c, где a ≠ 0. Именно его знак исследуют при решении квадратного неравенства. После переноса всех слагаемых в одну часть сравнение сводится к вопросу, где этот трёхчлен больше или меньше нуля.

Корни квадратного трёхчлена — значения x, при которых ax² + bx + c = 0. В этих точках выражение обращается в ноль. Корни отмечают на числовой прямой, потому что они разделяют её на промежутки, на которых знак трёхчлена можно исследовать отдельно.

Метод интервалов — способ решения неравенства, при котором находят нули выражения и определяют его знак на каждом полученном промежутке. Этот метод помогает не проверять бесконечно много значений x по одному. Достаточно правильно найти граничные точки и установить знак на частях прямой.

Как это устроено

Сначала неравенство приводят к виду, где в одной части стоит квадратный трёхчлен, а в другой — ноль. Для этого слагаемые переносят через знак равенства, меняя их знаки, а затем приводят подобные. Такой вид удобен, потому что задача сводится к исследованию знака одного выражения; если при преобразовании обе части умножают или делят на отрицательное число, знак неравенства обязательно меняют.

Граничные точки находят, решая уравнение ax² + bx + c = 0. Сначала вычисляют дискриминант D = b² − 4ac: он показывает, сколько действительных корней имеет уравнение. При D < 0 корней нет, при D = 0 есть один корень, а при D > 0 — два различных корня, которые можно расположить на числовой прямой.

Если корней два, они делят прямую на три промежутка. Между корнями знак трёхчлена противоположен знаку на крайних промежутках: при переходе через каждый простой корень знак меняется. На обоих крайних промежутках знак совпадает со знаком коэффициента a, потому что при больших по модулю x на выражение главным образом влияет слагаемое ax².

Когда D = 0, трёхчлен имеет вид a(x − x₀)², где x₀ — единственный корень. Квадрат неотрицателен и не меняет знак при переходе через x₀, поэтому знак трёхчлена по обе стороны от корня совпадает со знаком a. Если D < 0, график не пересекает ось x, так что знак также нигде не меняется и везде совпадает со знаком a.

После определения знаков выбирают промежутки, на которых выражение удовлетворяет знаку исходного неравенства. При строгих знаках > и < сами корни не подходят, потому что в них значение трёхчлена равно нулю. При нестрогих знаках ≥ и ≤ корни подходят, поэтому их включают в ответ; если подходящих промежутков нет, решений нет.

Знак квадратного трёхчлена и решение неравенства

Сначала определите строку по дискриминанту и знаку a, затем сверьте знак трёхчлена с требованием неравенства. Для нестрогого неравенства добавьте к выбранным промежуткам корни, а для строгого оставьте их за ответом. Если корней нет, проверьте, совпадает ли постоянный знак трёхчлена с нужным.

Разбор задач

Задача 1. Решить неравенство x² − 5x + 6 > 0.

Нужно выяснить, где трёхчлен положителен, поэтому сначала найдём его нули. Разложим выражение на множители: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), откуда корни равны 2 и 3. Старший коэффициент положителен, значит, на крайних промежутках знак плюс, а между корнями — минус.

1. Приравниваем трёхчлен к нулю: (x − 2)(x − 3) = 0.
2. Отмечаем корни 2 и 3 на прямой; они делят её на промежутки (−∞; 2), (2; 3), (3; +∞).
3. Для условия > 0 выбираем промежутки со знаком плюс, а точки 2 и 3 исключаем, так как неравенство строгое.

Ответ: (−∞; 2) ∪ (3; +∞). Это значения x, при которых график трёхчлена расположен выше оси x. В самих точках 2 и 3 выражение равно нулю, поэтому они не входят в решение.

Задача 2. Решить неравенство −x² + 4x − 3 ≥ 0.

Здесь требуется найти значения, при которых трёхчлен неотрицателен, а знак ≥ означает, что нулевые значения тоже подойдут. Умножим обе части на −1, чтобы получить удобный старший коэффициент; знак неравенства при этом изменится на противоположный. Получим x² − 4x + 3 ≤ 0.

1. Разлагаем трёхчлен: x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3), поэтому корни — 1 и 3.
2. Так как коэффициент при x² положителен, трёхчлен отрицателен между корнями и положителен вне их.
3. Нам нужно значение ≤ 0, поэтому выбираем промежуток между корнями и включаем обе его границы.

Ответ: [1; 3]. Проверка показывает, что при x = 1 и x = 3 исходное выражение равно нулю. Между этими корнями оно положительно, а за их пределами отрицательно.

Задача 3. Решить неравенство x² − 2x + 5 < 0.

Найдём, может ли трёхчлен вообще стать отрицательным. Для этого вычислим дискриминант: D = (−2)² − 4 · 1 · 5 = 4 − 20 = −16. Действительных корней нет, а коэффициент a = 1 положителен, значит, трёхчлен всегда положителен.

1. Записываем коэффициенты: a = 1, b = −2, c = 5.
2. Вычисляем дискриминант и получаем D < 0, поэтому корни на числовой прямой отмечать не нужно.
3. Сравниваем знак выражения с условием: трёхчлен всегда положителен, а требуется, чтобы он был меньше нуля.

Ответ: решений нет. Ни одно значение x не делает выражение отрицательным. Например, трёхчлен можно представить как (x − 1)² + 4, а квадрат неотрицателен при любом x.

Типичные ошибки

Не приводят неравенство к сравнению с нулём. Тогда можно исследовать не тот трёхчлен или забыть перенести слагаемое с правильным знаком. Ошибка возникает, если выполнять преобразования наспех; проверьте себя, подставив любое выбранное x в исходную и преобразованную записи, — их истинность должна совпасть.

Чередуют знаки, не учитывая знак a. Само чередование показывает смену знака при переходе через корни, но не указывает, с какого знака начинать. Из-за этого легко поменять местами положительные и отрицательные промежутки; проверьте знак на крайних промежутках по коэффициенту a или подставьте пробное число.

Неверно включают корни в ответ. Иногда корни добавляют при строгом неравенстве или исключают при нестрогом, хотя в корне выражение равно нулю. Это происходит, когда знак сравнения забывают после выбора промежутка; перед записью ответа сверьте его с условием: ≥ и ≤ включают границу, > и < — нет.

Не меняют знак неравенства при умножении или делении на отрицательное число. Например, из −x > 2 следует x < −2, а не x > −2. Правило легко упустить при попытке сделать коэффициент при x² положительным; проверьте преобразование на числовом примере, который удовлетворяет исходному неравенству.

Связь с другими темами

Для решения квадратных неравенств нужны навыки решения квадратных уравнений, вычисления дискриминанта и разложения трёхчлена на множители. Эти умения помогают находить нули, то есть границы промежутков. Метод интервалов затем используют и в рациональных неравенствах, где исследуют знак дробей и других выражений. Поэтому правильная работа с корнями и знаками пригодится при изучении следующих тем алгебры.

Что запомнить

• Квадратное неравенство приводят к сравнению квадратного трёхчлена с нулём.
• Нули трёхчлена находят как корни соответствующего квадратного уравнения.
• Если D > 0, на крайних промежутках знак трёхчлена совпадает со знаком a.
• При переходе через простой корень знак трёхчлена меняется.
• Если D < 0, знак трёхчлена везде совпадает со знаком a.
• Корни включают в ответ при нестрогом неравенстве и не включают при строгом.

График y = x² − 4 пересекает ось x в точках −2 и 2. По его положению относительно оси видно, где трёхчлен положителен, а где отрицателен.