1.5*. Неравенства, содержащие неизвестное под знаком модуля

Определения и обозначения

Неравенство с модулем — это неравенство, в котором неизвестное входит под знак модуля, например |2x−3|<5. Такой вид записи показывает, что сравнивается не само выражение, а его расстояние от нуля. Для решения нужно заменить модуль подходящим равносильным условием.

Модуль числа — расстояние от точки, изображающей число, до начала координат. Он неотрицателен: |a|≥0 при любом a, причём |a|=0 только при a=0. Это свойство позволяет сразу исключать некоторые случаи и правильно сравнивать модуль с отрицательными числами.

Равносильные неравенства — неравенства, имеющие одно и то же множество решений. Например, при a>0 записи |f(x)|

Двойное неравенство — запись условия, при котором число одновременно больше одной границы и меньше другой: −a

Как это устроено

Пусть a>0. Условие |f(x)|−a и f(x)

Условие |f(x)|>a означает, что точка f(x) находится дальше от нуля, чем a. Это возможно с одной из двух сторон: левее −a или правее a. Поэтому получается совокупность f(x)<−a или f(x)>a, а не система.

Знак правой части нельзя игнорировать. При a=0 модуль меньше нуля быть не может, модуль не больше нуля только если он равен нулю, а модуль больше нуля означает f(x)≠0. При a<0 неравенство |f(x)|a верно для любого f(x).

Если справа стоит не число, а выражение, например 2x+1, сначала проверяют, где оно неотрицательно. Без этого нельзя применять правило −a≤f(x)≤a, потому что оно предполагает положительную величину a. После решения нужно сохранить только те значения, для которых правая часть действительно имеет нужный знак.

Способ решения выбирают по виду задачи. Линейный модуль удобно заменить двойным неравенством, выражение с переменным знаком — раскрыть по промежуткам, а условие со знаком «больше» — разделить на два случая. В конце системы пересекают решения, а совокупности объединяют их.

Основные виды неравенств с модулем

Сначала определите знак правой части, а затем найдите подходящую строку. Круглые скобки соответствуют строгому неравенству, квадратные — нестрогому. Если справа стоит выражение с переменной, результат таблицы применяют только на тех промежутках, где выполнено указанное условие.

Разбор задач

Задача 1. Решить неравенство |2x−3|<5.

Справа стоит положительное число 5, поэтому можно использовать переход к двойному неравенству. Модуль должен быть меньше 5, значит выражение 2x−3 расположено между −5 и 5. Остаётся решить два линейных неравенства одновременно.

1. Записываем равносильное условие: −5<2x−3<5.
2. Прибавляем 3 ко всем частям: −2<2x<8. Делим на 2: −1<x<4.
3. Полученный промежуток уже учитывает обе границы, поэтому дополнительных условий нет.

Ответ: x∈(−1; 4).

Задача 2. Решить неравенство |x−3|≤2x+1.

Правая часть зависит от x, поэтому нельзя сразу раскрывать модуль. Сначала требуем 2x+1≥0, откуда x≥−½. После этого применяем правило для нестрогого неравенства и пересекаем результат с этим условием.

1. Находим область, где правая часть неотрицательна: 2x+1≥0, значит x≥−½.
2. Переходим к двойному неравенству: −(2x+1)≤x−3≤2x+1.
3. Из левой части получаем −2x−1≤x−3, то есть x≥⅔. Из правой части получаем x−3≤2x+1, то есть x≥−4.
4. Пересекаем условия x≥−½, x≥⅔ и x≥−4. Самое сильное из них — x≥⅔.

Ответ: x∈[⅔; +∞).

Задача 3. Решить систему |x−2|<3 и |2x+1|≥1.

В системе оба неравенства должны выполняться одновременно, поэтому их решения нужно пересечь. Первое условие даст внутренний промежуток, второе — объединение двух внешних лучей. После преобразования останутся только общие значения.

1. Из |x−2|<3 получаем −3<x−2<3, поэтому −1<x<5.
2. Из |2x+1|≥1 получаем 2x+1≤−1 или 2x+1≥1. Отсюда x≤−1 или x≥0.
3. Пересекаем (−1;5) с объединением (−∞;−1] и [0;+∞). Левая часть общих точек не имеет, а правая даёт [0;5).

Ответ: x∈[0; 5).

Типичные ошибки

Ошибка: записать |f(x)|<a как f(x)<a и забыть нижнюю границу. Так теряются значения, для которых f(x) отрицательно, но по модулю достаточно мало. Проверка: при a>0 всегда должны появиться обе границы −a и a.

Ошибка: заменить |f(x)|>a системой f(x)<−a и f(x)>a. Одно число не может одновременно быть левее −a и правее a, поэтому такая система обычно даёт пустое множество. Проверяйте знак: для «больше» нужны два случая, соединённые словом «или».

Ошибка: применить правило для положительного a, не проверив правую часть. Если она отрицательна или меняет знак, полученная запись может быть неверной. Сначала решите условие a≥0, а затем учтите его вместе с ответом.

Ошибка: неправильно объединить или пересечь промежутки. При системе нужны только общие точки, а при совокупности подходят точки из любого случая. Полезно отметить промежутки на одной координатной прямой и проверить несколько граничных значений.

Связь с другими темами

До этой темы нужны определение модуля, сравнение чисел, решение линейных неравенств и изображение промежутков на координатной прямой. Эти навыки превращают преобразование модуля в обычную систему или совокупность.

Неравенства с модулем встречаются при решении систем, уравнений и задач о расстояниях на координатной прямой. Модуль помогает записывать условие, что точка находится ближе или дальше заданного расстояния.

Связь с графиком y=|x| даёт наглядное объяснение правил. Условие |x|<2 выбирает часть графика ниже уровня y=2 между −2 и 2, а |x|>2 — внешние участки за этими точками.

Что запомнить

• Модуль любого выражения неотрицателен.
• При a>0: |f(x)|<a равносильно −a<f(x)<a.
• При a>0: |f(x)|≤a равносильно −a≤f(x)≤a.
• При a>0: |f(x)|>a равносильно f(x)<−a или f(x)>a.
• При a>0: |f(x)|≥a равносильно f(x)≤−a или f(x)≥a.
• Перед преобразованием неравенства нужно проверить знак числа или выражения справа от модуля.