"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Система линейных неравенств объединяет несколько условий с одной неизвестной: значение x должно подходить каждому из них сразу. Чтобы найти решение, решают каждое неравенство отдельно, а затем находят общую часть полученных промежутков. При этом важно правильно учитывать границы: строгие неравенства не включают их, а нестрогие включают. Решением может оказаться промежуток, отдельная точка или пустое множество.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линейное неравенство с одним неизвестным — это неравенство вида ax + b > 0 или ax + b < 0, а также с нестрогими знаками ≥ и ≤. Здесь x — неизвестное, a и b — числа, причём a ≠ 0, чтобы неизвестное действительно входило в выражение. Коэффициент a определяет, как меняется выражение при изменении x, а b — его постоянная часть. Эта запись помогает привести неравенства к знакомому виду и решить их стандартными преобразованиями.
Решением неравенства называют такое значение неизвестного, при подстановке которого получается верное утверждение. Например, в неравенстве x > 2 число 3 подходит, а число 1 — нет. Решением обычно оказывается не одно число, а множество чисел, которое можно записать промежутком. Проверка подстановкой помогает убедиться, что отдельное значение действительно подходит.
Система линейных неравенств с одним неизвестным — несколько линейных неравенств, записанных вместе и связанных общим неизвестным. Каждое из них задаёт своё условие для x. Слово «система» означает, что эти условия действуют одновременно, а не по очереди на выбор. Такое описание используют, когда значение должно соблюдать сразу несколько ограничений.
Решение системы — значение неизвестного, которое удовлетворяет каждому неравенству системы. Все такие значения вместе образуют множество решений, а его и записывают в ответе. Например, одно условие может требовать x > −2, а другое — x ≤ 3. Подходят только числа, которые одновременно выполняют оба требования.
В системе требуется выполнить все условия одновременно, потому что каждое неравенство накладывает отдельное ограничение на неизвестное. Если значение подходит хотя бы одному условию, но нарушает другое, оно не может быть решением всей системы. Например, при x > 0 и x < 5 число 7 проходит первое условие, но не проходит второе. Поэтому при поиске ответа мы оставляем только значения, подходящие каждому неравенству.
Сначала решают каждое неравенство отдельно и получают множество его решений. Это удобно, потому что каждое условие можно преобразовать обычными правилами решения линейных неравенств, не смешивая его с остальными. Затем записывают результат каждого преобразования в виде промежутка или нескольких чисел. Полученные результаты становятся исходными данными для следующего шага — поиска общих значений.
Промежутки изображают на числовой прямой, где каждому числу соответствует точка. Общие решения видны как часть прямой, которая принадлежит всем изображённым промежуткам. Такое изображение наглядно показывает, почему ответом служит именно пересечение: точка вне хотя бы одного промежутка нарушает соответствующее условие. Числовая прямая также помогает заметить, если общих точек вообще нет.
При пересечении промежутков учитывают не только расположение границ, но и то, включены ли они. Если общим концом оказывается точка, она входит в ответ лишь тогда, когда её разрешают все условия, задающие этот конец. В зависимости от положения границ пересечение может быть промежутком, одной точкой или пустым множеством. Например, у промежутков [1; 4] и [4; 7] общая часть — одна точка 4, а у (1; 3) и (3; 5) общей части нет.
При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак меняют на противоположный. Причина в том, что умножение чисел на отрицательное меняет их порядок: например, из 2 < 5 следует −2 > −5. Если забыть сменить знак при преобразовании одного условия, получится неверный промежуток и, следовательно, неверное пересечение. При решении системы это правило применяют отдельно к каждому неравенству, где возникает деление на отрицательный коэффициент.
Таблица показывает общий порядок действий: сначала находят решения каждого условия, а затем оставляют только общие значения. Сверяйтесь с этапами по порядку и проверяйте, что граничные точки отмечены с учётом знаков неравенств. Последний этап нужен, чтобы записать пересечение в удобном виде.
| Этап | Что сделать | Что получить |
|---|---|---|
| Решение каждого неравенства | Решить условия по отдельности | Промежуток или множество решений каждого условия |
| Изображение решений на числовой прямой | Отметить границы и направление промежутков | Наглядное изображение решений |
| Нахождение общей части | Оставить значения, входящие во все промежутки | Пересечение множеств решений |
| Запись ответа | Записать найденное пересечение | Ответ системы |
Оба условия уже заданы в простом виде, поэтому преобразовывать их не нужно. Первое ограничивает x снизу, а второе — сверху. Ответом станет участок числовой прямой, удовлетворяющий обоим ограничениям.
Ответ: (−2; 3]. Скобка круглая у −2 показывает, что это значение не подходит. Квадратная скобка у 3 показывает, что граница входит в решение.
Каждое неравенство решим самостоятельно, а затем пересечём полученные промежутки. Во втором условии коэффициент при x отрицательный, поэтому при делении на него знак придётся поменять. Это ключевой момент, от которого зависит направление промежутка.
Ответ: [3; 4). Число 3 входит в ответ, а 4 не входит. Проверка границ по исходным условиям подтверждает этот выбор.
Здесь сначала нужно раскрыть скобки и избавиться от дроби в первом условии. После преобразований важно сравнить получившиеся ограничения: иногда каждое неравенство имеет решения, но общих значений у них нет. Именно это и проверим.
Ответ: (−3; −2]. Число −3 исключено строгим первым условием, а −2 включено нестрогим вторым. Значения между ними удовлетворяют обоим исходным неравенствам.
Ошибка: считать решением системы числа, подходящие хотя бы одному неравенству. Так происходит, если слово «система» воспринимают как выбор одного условия из нескольких. Проверьте любой кандидат подстановкой во все неравенства: если хотя бы одно условие ложно, число не является решением системы.
Ошибка: объединять множества решений вместо того, чтобы пересекать их. При объединении в ответ попадут значения, которые могут нарушать одно из условий, потому что достаточно попасть хотя бы в один промежуток. Чтобы проверить себя, возьмите число из предполагаемого ответа и убедитесь, что оно находится внутри каждого промежутка.
Ошибка: не менять знак при умножении или делении обеих частей на отрицательное число. Обычно забывают это правило, когда стремятся просто «убрать» отрицательный коэффициент. После такого шага проверьте себя на простом примере: из 2 < 5 при умножении на −1 получается −2 > −5, а не −2 < −5.
Ошибка: неверно учитывать граничную точку. Её включают при строгом знаке или исключают при нестрогом, если не сверяются с исходным условием. Подставьте граничное значение в неравенство: если получается равенство, оно подходит только при знаках ≥ или ≤. На числовой прямой это соответствует закрашенной точке для включённой границы.
Чтобы решать системы, нужно уметь преобразовывать линейные неравенства и записывать их решения промежутками. Понятие пересечения множеств объясняет, почему в ответе остаются лишь общие значения; изображение промежутков на числовой прямой делает этот шаг наглядным. Системы применяют в задачах, где величина должна соблюдать несколько ограничений одновременно, например быть не меньше одной границы и не больше другой. Эта идея пригодится и при изучении неравенств с несколькими неизвестными.
Чем решение системы отличается от решения одного неравенства?
Решение одного неравенства — все значения неизвестного, при которых верно одно условие. Для системы значение должно подходить сразу каждому входящему в неё неравенству. Поэтому ответ системы может быть уже, чем множество решений любого отдельного условия.
Почему при решении системы нужно пересекать промежутки?
Промежуток каждого неравенства содержит значения, подходящие именно этому условию. В системе требуется выполнить все условия одновременно, поэтому подходят только значения, присутствующие во всех промежутках. Это и есть их пересечение.
Что делать, если промежутки не имеют общих точек?
Тогда ни одно значение не удовлетворяет всем неравенствам системы. Ответ записывают как пустое множество: ∅. Проверить это можно по числовой прямой или сравнением границ промежутков.
Как отмечать граничную точку на числовой прямой?
При строгом знаке < или > границу не включают и обычно отмечают выколотой точкой. При нестрогом знаке ≤ или ≥ граница входит в решение и отмечается закрашенной точкой. В записи промежутка включённая граница обозначается квадратной скобкой.
Нужно ли менять знак неравенства при переносе слагаемого?
При переносе слагаемого через знак равенства меняется его знак, но знак самого неравенства не меняется. Знак неравенства меняют на противоположный только при умножении или делении обеих частей на отрицательное число. Эти действия важно не путать.
1.4. Системы линейных неравенств с одним неизвестным
