"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Линейное неравенство с одним неизвестным помогает определить, при каких значениях переменной одно выражение больше или меньше другого. Его преобразуют к простому виду, чтобы найти все подходящие значения и записать их неравенством или промежутком. Главное — выполнять преобразования, не меняя множество решений: при делении на отрицательное число знак неравенства переворачивают, а если переменная исчезает, проверяют получившееся числовое утверждение.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линейное неравенство с одним неизвестным — неравенство, которое после упрощения можно записать в виде ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≥ 0 или ax + b ≤ 0. Здесь x — неизвестное, а a и b — числа. Такое определение помогает узнать, какие неравенства можно решить с помощью одних и тех же преобразований.
Решение неравенства — значение неизвестного, при подстановке которого неравенство становится верным. Например, x = 4 является решением x > 2, а x = 1 — нет. Понятие решения позволяет проверять отдельные значения и понимать, какие из них нужно оставить в ответе.
Равносильные неравенства — неравенства, имеющие одно и то же множество решений. Например, x + 3 > 5 и x > 2 равносильны: оба верны для одних и тех же значений x. Это понятие нужно, чтобы переходить от сложной записи к простой, не теряя и не добавляя решений.
Множество решений — все значения неизвестного, удовлетворяющие неравенству; его можно записать неравенством или числовым промежутком. Так, условие x ≥ 1 задаёт все числа от 1 и дальше, включая 1. Такая запись показывает не одно решение, а сразу весь набор подходящих значений.
Сначала линейное неравенство упрощают: раскрывают скобки, переносят слагаемые с неизвестным в одну часть, а числа — в другую, затем приводят подобные. Перенос слагаемого равносилен прибавлению к обеим частям противоположного числа, поэтому множество решений сохраняется. В результате обычно получают неравенство вида ax > b или одно из аналогичных ему. Такой вид удобен, потому что неизвестное в нём уже не смешано с другими слагаемыми.
Если a ≠ 0, обе части делят на коэффициент a, чтобы оставить неизвестное само по себе. Деление на положительное число сохраняет порядок, поэтому знак неравенства остаётся прежним; получаем границу c = b/a. Например, из 3x > 6 следует x > 2. Граница показывает, с какого числа начинается или заканчивается множество решений.
При делении на отрицательное число знак приходится менять на противоположный, поскольку умножение отрицательных чисел меняет их порядок. Например, из −2 < 4 после деления обеих частей на −2 получается 1 > −2, а не 1 < −2. Если оставить прежний знак, получится утверждение, которое не соответствует исходному. Поэтому знак коэффициента проверяют до деления.
Знак коэффициента определяет, в какую сторону располагаются решения относительно границы. Если коэффициент положительный, деление сохраняет знак: например, ax > b превращается в x > c. Если коэффициент отрицательный, знак меняется, и направление становится противоположным. Нестрогие знаки ≥ и ≤ обрабатываются так же, но сохраняют включение границы.
Если после упрощения коэффициент при x равен нулю, делить на него нельзя. Неравенство превращается в числовое, например 0 > 2, и уже не зависит от неизвестного. Когда числовое утверждение верно, подходят все действительные значения x; когда оно неверно, решений нет. Этот отдельный случай нужно проверять каждый раз, когда слагаемые с неизвестным сокращаются.
Таблица показывает, какие действия сохраняют множество решений и что при этом происходит со знаком. Перед каждым преобразованием определите, к какой строке относится действие; особенно внимательно проверяйте знак числа, на которое делите.
| Действие | Что происходит с решением | Правило |
|---|---|---|
| Прибавление одного и того же числа к обеим частям | Множество решений не меняется | Знак сохраняется |
| Умножение или деление обеих частей на положительное число | Множество решений не меняется | Знак сохраняется |
| Умножение или деление обеих частей на отрицательное число | Множество решений не меняется | Знак меняется на противоположный |
| Перенос слагаемого в другую часть | Равносильное преобразование | Знак слагаемого меняется на противоположный |
Задача 1. Решить неравенство 3x − 5 > 7. Нужно отделить слагаемое с неизвестным от чисел, а затем оставить x с коэффициентом 1. Делим на положительное число, поэтому знак сохраняется.
Ответ: x > 4, или (4; +∞). Число 4 не подходит, потому что исходное неравенство строгое.
Задача 2. Решить неравенство 4 − 2x ≤ 10 и записать ответ в виде промежутка. Перенесём свободное число, чтобы получить слагаемое с x отдельно. Коэффициент при x будет отрицательным, поэтому при делении знак нужно перевернуть.
Ответ: x ≥ −3, или [−3; +∞).
Задача 3. Решить неравенство 2(3x − 1) − 4x > 2(x + 1) и проверить, сколько оно имеет решений. Сначала раскроем скобки и приведём подобные члены с x. Если неизвестное сократится, останется числовое неравенство, и по нему станет ясно, есть ли решения.
Ответ: решений нет. Делить на коэффициент при x здесь нельзя: после сокращения этот коэффициент равен нулю.
Ошибка: разделить обе части на отрицательный коэффициент и оставить знак прежним. Её допускают, потому что привычное деление кажется обычным вычислением, но при отрицательном множителе порядок чисел меняется. Проверка: перед делением отметьте знак коэффициента и, если он отрицательный, переверните знак неравенства.
Ошибка: перенести слагаемое в другую часть, не изменив его знак. Это происходит, когда перенос воспринимают как простое перемещение, хотя на деле к обеим частям прибавляют противоположное слагаемое. Проверка: выполните перенос как отдельное действие над обеими частями и убедитесь, что знак слагаемого изменился.
Ошибка: включить граничное значение при строгом знаке или исключить его при нестрогом. Обычно путают, означает ли знак сравнение «больше» или «больше либо равно». Проверка: подставьте границу в исходное неравенство; при знаках < и > равенство не подходит, при ≤ и ≥ подходит.
Ошибка: после сокращения слагаемых с x автоматически разделить на коэффициент. Так можно сделать только при ненулевом коэффициенте, а после сокращения он иногда становится равным нулю. Проверка: сначала приведите подобные и отдельно посмотрите, осталась ли переменная; если нет, оцените истинность числового неравенства.
Для решения неравенств нужны знакомые преобразования выражений: раскрытие скобок, перенос слагаемых и приведение подобных. Также необходимо знать свойства числовых неравенств, прежде всего правило о смене знака при умножении или делении на отрицательное число. Полученное множество решений используют при решении систем неравенств, где нужно найти значения, подходящие сразу нескольким условиям. Такие неравенства встречаются и в задачах на допустимые значения величин.
Почему при делении на отрицательное число знак неравенства меняется?
При умножении или делении чисел на отрицательное число их порядок меняется на противоположный: например, 2 < 5, но −2 > −5. Поэтому при таком действии с обеими частями неравенства знак тоже нужно перевернуть.
Как понять, входит ли граничное значение в ответ?
При строгих знаках < и > граница не входит в множество решений. При знаках ≤ и ≥ граничное значение входит, поэтому в записи промежутка используют квадратную скобку со стороны этой границы.
Что делать, если после преобразований неизвестное исчезло?
Проверьте, верно ли оставшееся числовое неравенство. Если оно верно, решением будут все действительные числа; если неверно — решений нет.
Как из ответа в виде неравенства записать промежуток?
Например, условие x > 3 записывают промежутком (3; +∞), а x ≥ 3 — промежутком [3; +∞). Круглая скобка означает, что граница не включена, квадратная — что включена.
Можно ли умножать обе части неравенства на выражение с неизвестным?
Нельзя делать это без дополнительного анализа: выражение может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Сначала нужно определить его знак, иначе можно неверно сохранить или перевернуть знак неравенства.
1.3. Линейные неравенства с одним неизвестным
