"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Линейное неравенство помогает найти не одно число, а все значения неизвестного, при которых выполняется условие. Его решают, преобразуя выражение к виду ax+b>0, ax+b
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линейное неравенство с одним неизвестным — неравенство, в котором неизвестное входит только в первой степени. Например, 3x − 5 > 7 — линейное, а x² > 7 — нет, потому что неизвестное здесь возведено в квадрат. Такие неравенства позволяют описывать условия, которым должны удовлетворять числа.
Решение неравенства — значение неизвестного, при котором неравенство становится верным числовым утверждением. Например, для 3x > 6 число 4 подходит, потому что 12 > 6, а число 1 не подходит. Это понятие помогает отличить проверку одного числа от полного решения задачи.
Множество решений неравенства — все значения неизвестного, удовлетворяющие неравенству. У неравенства x > 2 решениями будут не только 3 или 4, но и любое число больше 2. Поэтому ответ обычно записывают в виде промежутка, а не одного числа.
Равносильные неравенства — неравенства, имеющие одно и то же множество решений. Например, x + 2 > 5 и x > 3 равносильны: оба выполняются при всех числах больше 3. Равносильные преобразования позволяют менять форму неравенства, не меняя его ответа.
Линейное неравенство сначала приводят к общему виду ax+b>0, ax+b<0, ax+b≥0 или ax+b≤0, где a и b — числа. Для этого раскрывают скобки, приводят подобные слагаемые и собирают выражения с неизвестным в одной части. В результате становится видно, каким действием можно выделить неизвестное и каков знак его коэффициента.
Прибавление или вычитание одного и того же числа из обеих частей не меняет истинность неравенства. Если к двум числам прибавить одинаковое число, их порядок останется прежним: например, из 2 < 5 следует 2+3 < 5+3. Поэтому слагаемые можно переносить между частями, но при переходе они меняют знак: это сокращённая запись такого действия над обеими частями.
Умножение или деление обеих частей на положительное число сохраняет знак неравенства. Положительное число не меняет порядок чисел: если 2 < 5, то и 2·3 < 5·3, и 2/3 < 5/3. Именно поэтому при положительном коэффициенте при неизвестном можно разделить на него, оставив знак прежним.
При умножении или делении на отрицательное число знак нужно изменить на противоположный. Отрицательное число меняет порядок: например, −2·2 > −2·5, хотя 2 < 5. Если забыть перевернуть знак, получится утверждение, неравносильное исходному, и множество решений изменится.
После преобразований неравенство должно иметь вид x>a, x
| Действие с обеими частями | Условие | Изменение знака неравенства | Пример результата |
|---|---|---|---|
| Прибавление или вычитание одного и того же числа | Любое число | Не меняется | Из x − 4 > 2 получаем x > 6 |
| Умножение или деление на положительное число | Множитель или делитель больше нуля | Не меняется | Из 3x < 12 получаем x < 4 |
| Умножение или деление на отрицательное число | Множитель или делитель меньше нуля | Меняется на противоположный | Из −2x ≤ 6 получаем x ≥ −3 |
| Перенос слагаемого из одной части в другую | Слагаемое переходит с противоположным знаком | Не меняется | Из x + 5 > 8 получаем x > 3 |
| Приведение подобных слагаемых и приведение к стандартному виду | Складывают коэффициенты одинаковых частей выражения | Само по себе не меняется | Из 2x + x − 4 > 5 получаем 3x − 9 > 0 |
Пользуйтесь таблицей как напоминанием: сначала упростите выражение, затем выделите неизвестное. Перед делением обязательно определите знак коэффициента при неизвестном. Если он отрицательный, знак неравенства нужно перевернуть.
Задача 1. Решить неравенство 3x−5>7.
Ответ: x>4, или (4; +∞).
Задача 2. Решить неравенство −2(3x−1)≤4.
Ответ: x≥−⅓, или [−⅓; +∞).
Задача 3. Решить двойное неравенство 2<3x+1≤10.
Ответ: ⅓<x≤3, или (⅓; 3].
При делении на отрицательное число иногда оставляют знак прежним, потому что запоминают правило только для умножения. Но деление на отрицательное число тоже меняет порядок, поэтому знак нужно перевернуть. Проверьте знак делителя перед действием и подставьте полученное число в исходное неравенство.
При переносе слагаемого через знак неравенства могут забыть изменить его знак. Перенос — это краткая запись прибавления или вычитания одного и того же числа из обеих частей, поэтому знак слагаемого меняется, а знак неравенства нет. Для проверки выполните это действие явно над обеими частями.
Ещё одна ошибка — неправильно обозначить границу на координатной прямой: поставить выколотую точку при ≥ или ≤ либо закрашенную при > или <. Причина обычно в том, что не учитывают, входит ли граничное число в решение. Сверьте точку со знаком: строгий знак — граница исключена, нестрогий — включена.
Иногда в ответ записывают только одно найденное число, хотя неравенству удовлетворяет целый промежуток. Это происходит, если решение воспринимают как поиск корня уравнения. Возьмите ещё несколько чисел из полученного промежутка и убедитесь, что они тоже подходят; ответ должен описывать всё множество решений.
Для решения линейных неравенств нужны свойства числовых неравенств, действия с отрицательными числами, раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых. При записи ответа используются координатная прямая и интервалы, а преобразования похожи на решение линейных уравнений, хотя при делении на отрицательное число есть отдельное правило для знака.
Дальше неравенства встречаются в системах и совокупностях, где нужно объединять или пересекать условия. Они связаны и с линейной функцией: её значения могут быть больше или меньше заданного числа на определённых промежутках аргумента.
Почему при делении на отрицательное число знак неравенства меняется?
Умножение или деление на отрицательное число меняет порядок чисел на противоположный: например, из 2 < 5 следует −2 > −5. Поэтому при таком действии знак неравенства нужно перевернуть.
Нужно ли менять знак неравенства при переносе слагаемого?
Само неравенство при переносе слагаемого знак не меняет. Слагаемое переходит в другую часть с противоположным знаком, потому что на самом деле к обеим частям прибавляют или из обеих частей вычитают одно и то же число.
Как понять, какую точку закрашивать на координатной прямой?
Если граница входит в ответ, то есть стоит знак ≥ или ≤, точку закрашивают. При строгих знаках > и < граница не входит в множество решений, поэтому точка выколотая.
Что делать, если коэффициент при неизвестном равен нулю?
Если после упрощения получается 0·x+b, неизвестное исчезает, и нужно проверить числовое неравенство b>0, b
Как проверить, что множество решений записано правильно?
Выберите число внутри записанного промежутка и подставьте его в исходное неравенство: должно получиться верное утверждение. Затем проверьте границу: она включается только при нестрогом знаке, а числа за пределами найденного промежутка не должны подходить.
§ 1. Линейные неравенства с одним неизвестным
