1.1. Неравенства первой степени с одним неизвестным

Определения и обозначения

Неравенство первой степени с одним неизвестным — это неравенство вида ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≥ 0 или ax + b ≤ 0, где a и b — числа, а a ≠ 0. Неизвестное обычно обозначают буквой x, и оно не возводится в степень выше первой. Такое определение помогает отличить линейные неравенства от квадратных и других более сложных.

Решение неравенства — значение неизвестного, при подстановке которого получается верное числовое неравенство. Например, для x > 2 число 5 является решением, потому что 5 > 2. Проверка подстановкой показывает, подходит ли отдельное значение, но обычно нужно найти все подходящие значения.

Множество решений неравенства — все значения неизвестного, которые являются его решениями. Его можно записать с помощью промежутка или изобразить на числовой прямой. Такая запись показывает не одно подходящее число, а весь набор значений, который удовлетворяет условию.

Равносильные неравенства — это неравенства, имеющие одно и то же множество решений. Их можно получить друг из друга допустимыми преобразованиями, например перенести слагаемые или разделить обе части на положительное число. Понятие равносильности нужно, чтобы понимать: преобразования упрощают запись, но сохраняют ответ.

Как это устроено

Чтобы упростить неравенство, слагаемые с неизвестным обычно собирают в одной части, а числа — в другой. При переносе слагаемое фактически прибавляют к обеим частям с противоположным знаком, поэтому его знак меняется. Знак сравнения при этом не меняется: например, из x + 3 > 7 получаем x > 7 − 3, то есть x > 4.

После переноса часто получается ax > b или ax < b, и нужно избавиться от множителя a при x. Для этого обе части делят на a, но результат зависит от его знака. Если a положительно, порядок чисел сохраняется; если a отрицательно, порядок меняется, поэтому знак неравенства приходится развернуть. Это можно увидеть на числовой прямой: при умножении всех чисел на отрицательное число числа, которые были правее, оказываются левее.

Направление знака после деления удобно определить по двум вещам: исходному знаку сравнения и знаку коэффициента a. Например, из 2x > 6 получаем x > 3, потому что делим на положительное 2. А из −2x > 6 получаем x < −3: деление на −2 меняет направление знака. Чтобы не перепутать результат, сначала отметь знак коэффициента, а затем выполни деление.

В определении неравенства первой степени коэффициент a не равен нулю, поэтому неизвестное действительно участвует в сравнении. Если при упрощении всё же получается 0x, остаётся числовое утверждение: например, 0 > −2 верно при любом x, а 0 > 2 неверно при любом x. Поэтому особые случаи дают либо бесконечно много решений, либо ни одного. Одно решение может возникнуть, если условие дополнительно ограничивает неизвестное единственным значением, например x ≥ 3 и x ≤ 3 одновременно.

Множество решений на числовой прямой изображают лучом от граничного числа. Если неравенство строгое, например x > 2, число 2 не входит в ответ: его отмечают пустой точкой и ведут луч вправо. Если неравенство нестрогое, например x ≥ 2, граничное число входит в ответ, поэтому точку закрашивают. Направление луча задаёт знак: «больше» — вправо, «меньше» — влево.

Правила решения неравенств первой степени

Сначала приведи неравенство к виду ax > b, ax < b или к варианту с нестрогим знаком. Затем определи знак a и выбери подходящую строку таблицы. Если делишь на отрицательное число, обязательно разверни знак; при нестрогом сравнении граница остаётся включённой.

Разбор задач

Задача 1. Решить неравенство 3x − 7 > 5.

Сначала нужно оставить слагаемое с x отдельно, поэтому перенесём −7 в правую часть. При переносе оно станет +7, а знак неравенства останется прежним. Коэффициент при x положительный, значит при делении знак сохраняется.

1. Прибавим 7 к обеим частям: 3x > 12.
2. Разделим обе части на 3: x > 4.
3. Запишем множество решений: все числа больше 4, то есть промежуток (4; +∞). На прямой это пустая точка в 4 и луч вправо.

Ответ: x ∈ (4; +∞).

Задача 2. Решить неравенство −4x + 9 ≤ 17.

Перенесём число 9 вправо, чтобы оставить член с неизвестным слева. После этого нужно разделить на −4; это отрицательное число, поэтому направление знака обязательно изменится. Граница будет включена, так как исходное неравенство нестрогое.

1. Вычтем 9 из обеих частей: −4x ≤ 8.
2. Разделим на −4 и изменим знак сравнения: x ≥ −2.
3. Запишем ответ промежутком: от −2 включительно и дальше вправо. На числовой прямой в −2 ставится закрашенная точка.

Ответ: x ∈ [−2; +∞).

Задача 3. Решить неравенство 2(3x − 1) − 5x ≥ 4 + x.

Сначала раскроем скобки и приведём подобные слагаемые, чтобы увидеть, какие части содержат x. Затем перенесём неизвестные влево, числа вправо. Полученный коэффициент при x окажется нулевым, поэтому делить на него нельзя: нужно проверить оставшееся числовое сравнение.

1. Раскроем скобки и упростим левую часть: 6x − 2 − 5x ≥ 4 + x, значит x − 2 ≥ 4 + x.
2. Вычтем x из обеих частей: −2 ≥ 4. Это утверждение неверно.
3. Следовательно, ни одно значение x не подходит; множество решений пустое.

Ответ: решений нет.

Типичные ошибки

При делении на отрицательное число иногда оставляют знак сравнения прежним, потому что по привычке переносят правила действий с равенствами на неравенства. Например, из −2x > 6 ошибочно получают x > −3 вместо x < −3. Проверь себя: возьми любое число из полученного ответа и подставь в исходное неравенство.

Другая ошибка — менять знак самого неравенства при переносе слагаемого. Через знак сравнения переносится слагаемое, и меняется знак только у него: из x + 4 < 9 получится x < 5, а не x > 5. Проверяй преобразование, прибавляя или вычитая одно и то же число в обеих частях.

Иногда строгую границу отмечают закрашенной точкой или, наоборот, не включают границу нестрогого неравенства. Так происходит, если не различать знаки > и ≥, < и ≤. Сверь знак в ответе с условием: при > или < точка пустая, при ≥ или ≤ — закрашенная.

Можно правильно найти граничное число, но забыть указать весь луч или направить его не туда. Тогда ответ содержит только границу, хотя решений обычно бесконечно много. Чтобы проверить направление, подставь число справа и слева от границы в ответ или исходное неравенство и оставь ту сторону, где оно верно.

Связь с другими темами

Для решения линейных неравенств нужны свойства числовых неравенств, действия с отрицательными числами, раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых. Эти умения помогают получить простую запись и не потерять знак при преобразованиях. Если они вызывают затруднения, полезно отдельно повторить правила действий с положительными и отрицательными числами.

Линейные неравенства становятся основой для решения систем и совокупностей неравенств: там приходится объединять или пересекать найденные множества решений. Позже тот же подход к поиску промежутков используется при решении квадратных неравенств. Такие задачи встречаются и в практических ситуациях, где на неизвестное накладывают ограничения.

Что запомнить

• Решение неравенства — любое значение неизвестного, превращающее его в верное утверждение.
• При переносе слагаемого через знак неравенства меняется знак этого слагаемого.
• При умножении или делении на положительное число знак неравенства сохраняется.
• При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняет направление.
• Строгому неравенству соответствует пустая точка, а нестрогому — закрашенная.
• Ответ удобно записывать промежутком и изображать на числовой прямой.
• После преобразований полезно проверить найденную границу подстановкой.

Графически решение неравенства 2x − 4 > 0 можно представить как значения x, при которых график y = 2x − 4 расположен выше оси Ox. Он пересекает ось Ox в точке x = 2, а выше оси находится при x > 2. Поскольку неравенство строгое, сама граница в множество решений не входит.