"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Неравенство первой степени с одним неизвестным можно решить с помощью графика линейной функции y = ax + b. Нужно определить, при каких x график расположен выше или ниже оси Ox, а затем учесть, входит ли точка пересечения с осью в ответ. Знак коэффициента a подсказывает направление изменения функции и помогает быстро выбрать нужный промежуток решений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Неравенство первой степени с одним неизвестным — это неравенство, которое после преобразований записывают как ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≥ 0 или ax + b ≤ 0, где a ≠ 0. Буква x обозначает неизвестное, а a и b — заданные числа. Такая форма позволяет связать неравенство с графиком прямой.
Линейная функция — функция вида y = ax + b, графиком которой является прямая. Коэффициент a задаёт её наклон, а b показывает ординату точки пересечения с осью Oy. Рассматривая эту функцию, мы заменяем вычисление знака выражения изучением положения прямой.
Решение неравенства — значение неизвестного, при подстановке которого получается верное неравенство. Все подходящие значения вместе образуют множество решений, обычно изображаемое промежутком на числовой прямой. Именно этот промежуток требуется получить в ответе.
Графический способ решения — способ найти решения по расположению графика функции относительно оси абсцисс Ox. Участки выше оси соответствуют положительным значениям функции, а участки ниже — отрицательным. Способ особенно нагляден, потому что знак выражения виден по рисунку.
Рассмотрим неравенство ax + b > 0 и построим функцию y = ax + b. Значение выражения ax + b при выбранном x становится ординатой точки графика с этой абсциссой. Поэтому условие неравенства означает, что нужно выбрать те x, для которых ордината положительна.
Ось Ox состоит из точек с ординатой 0. Если точка прямой находится выше этой оси, её ордината больше нуля, а если ниже — меньше нуля. Так график непосредственно показывает, где выполняются неравенства y > 0 и y < 0.
Точку пересечения прямой с осью Ox находят из условия y = 0, то есть решают уравнение ax + b = 0. Получается x₀ = −b/a. Эта точка делит числовую прямую на два промежутка, и на каждом из них линейная функция сохраняет один знак.
Знак коэффициента a определяет, как меняются значения функции при движении слева направо. Если a > 0, прямая поднимается, функция возрастает, и после перехода через x₀ её значения становятся положительными. Если a < 0, прямая опускается, функция убывает, поэтому положительные значения находятся слева от x₀.
Граничная точка x₀ сама по себе даёт значение функции 0. При строгих знаках > и < ноль не подходит, поэтому точку исключают. При знаках ≥ и ≤ ноль разрешён, и граничную точку включают в множество решений.
Чтобы решить неравенство графически, сначала представьте его левую часть как функцию, затем найдите её нуль и определите знак функции по расположению прямой. После этого запишите промежуток с учётом знака неравенства. Такой порядок защищает от ошибки при выборе стороны от корня.
| Свойство | a > 0 | a < 0 |
|---|---|---|
| Абсцисса точки пересечения с осью Ox | x₀ = −b/a | x₀ = −b/a |
| Где график расположен выше оси Ox | x > x₀ | x < x₀ |
| Решение неравенства ax + b > 0 | x > x₀ | x < x₀ |
| Решение неравенства ax + b < 0 | x < x₀ | x > x₀ |
| Условие включения граничной точки при ≥ и ≤ | Точка x₀ включается | |
Сначала найдите x₀, а затем определите знак коэффициента a. По соответствующей строке таблицы выберите сторону от x₀, где находится нужный знак функции. Если неравенство нестрогое, замените строгую границу на включённую: например, x > x₀ превращается в x ≥ x₀.
Рассмотрим функцию y = x − 3. Её график пересекает ось Ox там, где y равно нулю, а знак неравенства потребует участок выше оси. Коэффициент при x положителен, поэтому прямая возрастает.
Ответ: x > 3.
Здесь рассматривается функция y = −2x + 4. Её коэффициент при x отрицателен, поэтому прямая убывает: после нуля функции она находится ниже оси Ox. Знак ≤ означает, что точку, где значение равно нулю, нужно включить.
Ответ: x ≥ 2.
Представим обе части как значения двух функций: y₁ = 3x + 2 и y₂ = x − 4. Требование 3x + 2 > x − 4 означает, что график первой функции должен находиться выше графика второй. Их точка пересечения задаёт границу промежутков.
Ответ: x > −3.
Решения всегда справа от нуля функции. Так бывает только при возрастающей функции и условии положительности. При a < 0 направление меняется, поэтому проверьте знак коэффициента и возьмите пробное число из выбранного промежутка.
Неверное включение корня. Корень исключают при > или <, но включают при ≥ или ≤. Для проверки подставьте граничное значение в исходное неравенство: если получается равенство, строгий знак его не допускает.
Путаница между знаком функции и положением слева или справа. Положительное значение определяется не тем, где находится точка по горизонтали, а тем, выше ли она оси Ox. Проведите мысленно вертикаль от выбранной абсциссы к графику и посмотрите на высоту точки.
Ошибка при нахождении пересечения с осью Ox. На этой оси y = 0, поэтому нельзя просто подставлять b или менять знак наугад. Решите уравнение ax + b = 0 и затем быстро проверьте найденное значение подстановкой.
До этой темы нужно уметь строить график линейной функции y = ax + b и находить её нуль. Эти навыки позволяют сразу увидеть наклон прямой и точку смены знака.
Графическое решение опирается на смысл строгих и нестрогих неравенств. Поэтому важно уметь изображать промежутки на числовой прямой и различать пустую и закрашенную граничную точку.
Позже тот же подход пригодится при сравнении двух линейных функций. Тогда вместо оси Ox рассматривают, где один график проходит выше или ниже другого.
Почему для решения неравенства рассматривают график функции y = ax + b?
Выражение ax + b из неравенства можно считать значением функции y = ax + b. Поэтому условие ax + b > 0 означает y > 0, то есть нужно найти участки графика выше оси Ox.
Как по графику определить, где линейная функция принимает положительные значения?
Положительные значения функции соответствуют точкам графика, расположенным выше оси Ox. Абсциссы этих точек и образуют решения неравенства y > 0.
Как найти точку, в которой график пересекает ось Ox?
На оси Ox ордината равна нулю, поэтому нужно решить уравнение ax + b = 0. Полученное значение x₀ = −b/a является абсциссой точки пересечения.
Почему при изменении знака коэффициента a меняется промежуток решений?
Коэффициент a определяет наклон прямой. При a > 0 функция возрастает, а при a < 0 убывает, поэтому положительные и отрицательные значения располагаются по разные стороны от нуля функции.
Когда граничную точку нужно включать в ответ?
При строгих знаках > и < значение, при котором функция равна нулю, в решение не входит. При знаках ≥ и ≤ это значение включают.
1.2. Применение графиков к решению неравенств первой степени с одним неизвестным
