§ 2. Рациональные неравенства

Определения и обозначения

Рациональное неравенство — неравенство, в котором сравниваются рациональные выражения. Рациональное выражение может содержать переменную в знаменателе, а целое выражение такого знаменателя не содержит. Поэтому при работе с рациональными выражениями нужно следить, чтобы знаменатель не обращался в ноль.

Область допустимых значений (ОДЗ) — все значения переменной, при которых знаменатели выражений не равны нулю. Её находят до преобразований, чтобы не использовать значения, при которых исходная дробь не определена. ОДЗ помогает сразу понять, какие точки нельзя включать в ответ.

Критическая точка — корень числителя или знаменателя дроби, к которой приведено неравенство. Такие точки отмечают на числовой прямой, потому что в них выражение может стать равным нулю или перестать существовать. Они разделяют прямую на промежутки для проверки знака.

Метод интервалов — способ решить неравенство, определяя знак выражения на промежутках между критическими точками. Для этого находят сами точки, выясняют знак на каждом промежутке и выбирают подходящие. Так можно не решать неравенство отдельно на каждом возможном значении переменной.

Как это устроено

Удобно свести неравенство к сравнению одной дроби с нулём, потому что тогда знак всего выражения зависит от знаков числителя и знаменателя. Для этого все слагаемые переносят в одну сторону, а затем приводят к общему знаменателю. Например, вместо сравнения двух дробей рассматривают их разность и выясняют, где она положительна или отрицательна.

Чтобы найти критические точки, приравнивают числитель и знаменатель полученной дроби к нулю и решают уравнения. Корни числителя показывают, где дробь может стать равной нулю, а корни знаменателя — где она не определена. Последние нужно исключить из ОДЗ, даже если преобразования позволили сократить общий множитель: исходная дробь в такой точке всё равно могла быть не определена.

Критические точки делят числовую прямую на промежутки, внутри которых знак дроби не меняется. Чтобы знак изменился, числитель или знаменатель должен пройти через ноль, а внутри промежутка таких точек нет. Значит, достаточно определить знак в одном удобном месте каждого промежутка, и он будет верен для всех его точек.

Сначала отмечают точки по порядку на прямой, затем определяют знак на одном промежутке: подставляют пробное число или смотрят на знаки множителей. При переходе через корень нечётной кратности знак соответствующего множителя меняется, а через корень чётной кратности — сохраняется. Если известен знак с одной стороны, это позволяет последовательно определить знаки на остальных промежутках.

В ответ выбирают промежутки, на которых выражение имеет знак, заданный неравенством. При строгих знаках > и < точки, где числитель равен нулю, не подходят; при нестрогих ≥ и ≤ их включают, если точка принадлежит ОДЗ. Нули знаменателя исключают всегда, поэтому даже при нестрогом знаке их нельзя записывать в ответ.

Как учитывать критические точки при решении рационального неравенства

Пользуйся таблицей после того, как разложил числитель и знаменатель на множители: кратность показывает, сколько раз повторяется соответствующий корень. Если корень одновременно связан с числителем и знаменателем, отдельно проверь ОДЗ исходного выражения. При строгом неравенстве корни числителя тоже не включают, даже если они допустимы.

Разбор задач

Задача 1. Решить неравенство (x − 2)/(x + 1) > 0.

1. Найдём критические точки: числитель равен нулю при x = 2, знаменатель — при x = −1. Точка −1 не входит в ОДЗ.
2. Отметим точки −1 и 2 на прямой: получатся промежутки (−∞; −1), (−1; 2), (2; +∞). При x = 0 дробь отрицательна, значит, на среднем промежутке знак «−».
3. Оба корня простые, поэтому при переходе через каждую точку знак меняется. На крайних промежутках знак «+», что и требуется для строгого неравенства.

Ответ: (−∞; −1) ∪ (2; +∞). Точки −1 и 2 не включены: первая запрещена знаменателем, вторая не подходит при строгом знаке.

Задача 2. Решить неравенство (x + 3)/(x − 1) ≤ 0.

1. Числитель обращается в ноль при x = −3, знаменатель — при x = 1. Поэтому x = 1 исключаем из ОДЗ, а прямую делим на три промежутка.
2. Проверим знак на среднем промежутке: при x = 0 дробь равна −3, значит, она отрицательна на (−3; 1). Оба корня простые, поэтому на соседних промежутках знак меняется; на крайних знак положительный.
3. Нужны отрицательные значения и ноль, так как знак неравенства нестрогий. Точку −3 включаем, а точку 1 исключаем, поскольку в ней знаменатель равен нулю.

Ответ: [−3; 1). Квадратная скобка у −3 означает, что это значение включено, круглая у 1 — что оно исключено.

Задача 3. Решить неравенство (x − 2)(x + 1)/((x − 3)(x + 2)) ≥ 0.

1. Нули числителя: −1 и 2, нули знаменателя: −2 и 3. Упорядочим их: −2, −1, 2, 3; точки −2 и 3 запрещены ОДЗ.
2. На промежутке (3; +∞) все четыре множителя положительны, поэтому дробь положительна. Все критические точки простые, значит, при переходе через каждую знак меняется.
3. Знаки справа налево чередуются: «+» на (3; +∞), «−» на (2; 3), «+» на (−1; 2), «−» на (−2; −1), «+» на (−∞; −2). Выбираем положительные промежутки и включаем нули числителя, поскольку знак нестрогий.

Ответ: (−∞; −2) ∪ [−1; 2] ∪ (3; +∞). Нули числителя включены, а нули знаменателя −2 и 3 исключены.

Типичные ошибки

Нуль знаменателя включают в ответ, если забывают проверить ОДЗ. В такой точке дробь не определена, поэтому значение не может быть решением ни строгого, ни нестрогого неравенства. Проверь каждую отмеченную точку: если она обращает знаменатель в ноль, поставь возле неё пустую точку.

Корень числителя иногда исключают при нестрогом неравенстве, потому что применяют правило для строгого знака. Но в допустимой точке с нулём числителя дробь равна нулю, а ноль подходит для ≥ или ≤. Подставь корень в исходное выражение и отдельно проверь, что знаменатель не равен нулю.

При переносе слагаемых или умножении обеих частей на выражение с переменной можно не заметить, что его знак неизвестен. Умножение на отрицательное выражение меняет направление неравенства, а на выражение, знак которого меняется, нельзя умножать без разбора случаев. Безопаснее привести всё к одной дроби и сравнить её с нулём.

Неверно считать, что знак обязательно меняется при каждой критической точке. Это верно для корня нечётной кратности, тогда как при чётной кратности знак сохраняется. Разложи выражение на множители и посмотри, в какой степени стоит множитель с данным корнем; при сомнении проверь знаки подстановкой.

Связь с другими темами

Перед решением таких неравенств нужно уметь находить ОДЗ дробного выражения, раскладывать многочлены на множители и решать линейные неравенства. Эти действия помогают найти запрещённые значения и критические точки, а затем разметить промежутки. Если один из этих шагов вызывает затруднение, повтори его отдельно до решения неравенства целиком.

Метод интервалов используют и дальше: он помогает решать более сложные дробно-рациональные неравенства, где числитель и знаменатель состоят из нескольких множителей. Тот же подход пригодится при исследовании знака выражения: вместо подстановки множества чисел достаточно изучить несколько промежутков. Поэтому аккуратная работа с ОДЗ и корнями важна и в следующих темах.

Что запомнить

• Сначала сведи неравенство к сравнению одной дроби с нулём.
• Нули знаменателя исключаются из ответа.
• Критические точки — нули числителя и знаменателя.
• На промежутке между соседними критическими точками знак выражения постоянен.
• Корень числителя включается в ответ при нестрогом неравенстве, если точка принадлежит ОДЗ.
• При переходе через корень нечётной кратности знак меняется, через корень чётной кратности — сохраняется.