5.2.1. Решение рациональных неравенств. Метод интервалов

Определения и обозначения

Рациональное неравенство — неравенство, в котором левая и правая части являются рациональными выражениями. Переменная может находиться в знаменателе, например в дроби (x − 2)/(x + 1). Такие неравенства нельзя решать, забывая о значениях, при которых выражение не существует. Поэтому сначала выясняют, какие значения переменной допустимы.

Область допустимых значений (ОДЗ) — все значения переменной, при которых знаменатели выражений не равны нулю. Например, в дроби 1/(x − 3) нельзя подставить x = 3. ОДЗ нужна, чтобы сразу исключить точки, где неравенство не имеет смысла, и не включить их в ответ после преобразований.

Критические точки — значения переменной, в которых числитель или знаменатель дроби обращается в ноль. Эти точки разделяют числовую прямую на промежутки, внутри которых знак выражения не меняется. По ним удобно определить, где дробь положительна или отрицательна.

Метод интервалов — способ решения неравенства по знакам выражения на промежутках, образованных критическими точками. Сначала находят эти точки, затем устанавливают знак дроби на каждом промежутке и выбирают подходящие. Метод помогает решить неравенство, не подбирая отдельные значения переменной.

Как это устроено

Перед решением находят ОДЗ, потому что знаменатель дроби не может быть равен нулю. Если не исключить такие значения, в ответ попадут точки, где исходное выражение вообще не определено. Ограничения нужно сохранять и после преобразований, в том числе после сокращения общих множителей. Запиши все запрещённые значения отдельно, чтобы проверять их при составлении ответа.

Чтобы применить метод интервалов, неравенство приводят к сравнению одной дроби с нулём. Для этого переносят все слагаемые в левую часть, а затем приводят выражение к общей дроби. Например, из A > B получают A − B > 0. Такая запись позволяет исследовать знак всего выражения сразу, а не сравнивать две части по отдельности.

Критические точки находят, приравнивая к нулю числитель и знаменатель полученной дроби. Нули числителя показывают, где дробь может стать равной нулю, а нули знаменателя указывают на запрещённые значения. Все найденные точки отмечают на числовой прямой в порядке возрастания. Даже если после сокращения множителя точка исчезла из записи дроби, ограничение исходного выражения остаётся.

Соседние критические точки образуют интервалы, внутри которых дробь определена и не обращается в ноль. Её знак на таком интервале постоянен: чтобы он изменился, непрерывное выражение должно пройти через ноль или стать неопределённым, а именно эти значения уже отмечены. Знак можно установить подстановкой любого удобного числа из интервала. Другой способ — определить знаки множителей числителя и знаменателя и перемножить их.

После проверки интервалов выбирают те, где знак дроби подходит к неравенству: например, для выражения ≥ 0 нужны положительные участки и допустимые нули. При строгих знаках < и > нули числителя не включают, а при ≤ и ≥ включают, если они принадлежат ОДЗ. Нули знаменателя не входят в ответ никогда. Поэтому на рисунке точки числителя и знаменателя отмечают по-разному: первые могут быть границами ответа, вторые всегда остаются исключёнными.

Этапы решения рационального неравенства методом интервалов

Пользуйся таблицей как последовательностью действий: переходи к следующему этапу, только выполнив предыдущий. В конце сверь выбранные промежутки с исходным знаком неравенства и ограничениями ОДЗ. Такая проверка помогает не включить запрещённую точку или не потерять допустимый ноль числителя.

Разбор задач

Задача 1. Решить неравенство (x − 2)/(x + 1) > 0. Здесь дробь уже сравнивается с нулём, поэтому достаточно найти её критические точки и исследовать знак. Значение x = −1 запрещено, потому что обращает знаменатель в ноль. Ноль числителя равен x = 2, но при строгом знаке он не войдёт в ответ.

1. ОДЗ: x ≠ −1. Критические точки: −1 и 2.
2. Прямая делится на интервалы (−∞; −1), (−1; 2), (2; +∞). При x = −2 дробь положительна, при x = 0 отрицательна, при x = 3 положительна.
3. Выбираем интервалы с положительным знаком; точки −1 и 2 не включаем.

Ответ: (−∞; −1) ∪ (2; +∞).

Задача 2. Решить неравенство (x + 3)(x − 1)/(x − 2) ≤ 0. Нули числителя равны −3 и 1, а знаменатель обращается в ноль при 2. Эти три точки расположены по возрастанию и делят прямую на четыре части. Поскольку знак неравенства нестрогий, допустимые нули числителя можно включить.

1. ОДЗ: x ≠ 2. Отмечаем критические точки −3, 1 и 2.
2. Проверяем знаки на интервалах: при x = −4 дробь отрицательна, при x = 0 положительна, при x = 1,5 отрицательна, при x = 3 положительна.
3. Для условия ≤ 0 выбираем отрицательные промежутки и добавляем −3 и 1. Точку 2 исключаем, так как она запрещена ОДЗ.

Ответ: (−∞; −3] ∪ [1; 2).

Задача 3. Решить неравенство (x² − 4)/(x² − x − 2) ≥ 0. Сначала разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы увидеть все критические точки. Общий множитель можно сократить для исследования знака, но найденное ограничение после этого не исчезает. Нестрогий знак позволяет включить ноль числителя, если дробь там определена.

1. Разложение: (x² − 4)/(x² − x − 2) = (x − 2)(x + 2)/((x − 2)(x + 1)). ОДЗ: x ≠ 2 и x ≠ −1.
2. После сокращения знак определяется дробью (x + 2)/(x + 1), но точка 2 остаётся исключённой. Критические точки: −2, −1 и 2.
3. Знаки: на (−∞; −2) дробь положительна, на (−2; −1) отрицательна, на (−1; +∞) положительна. Включаем −2, но исключаем −1 и 2.

Ответ: (−∞; −2] ∪ (−1; 2) ∪ (2; +∞).

Типичные ошибки

Не исключить значения, обращающие знаменатель в ноль, — значит включить в ответ точки, где выражение не определено. Такое случается, когда ученик сосредоточен на знаках и забывает про ОДЗ. Проверяй каждую найденную критическую точку по исходному знаменателю и вычёркивай его нули из ответа при любом знаке неравенства.

Нули числителя нельзя включать или исключать без учёта знака неравенства. Их часто принимают за запрещённые точки по аналогии с нулями знаменателя или, наоборот, включают всегда. Подставь такой ноль в дробь: если знаменатель не равен нулю, дробь равна нулю, и точка подходит только для ≤ или ≥.

Определять знак дроби только по числителю — неверно, потому что знак зависит и от знаменателя. Ошибка особенно вероятна, когда в числителе несколько множителей и они отвлекают внимание. На каждом интервале проверь знаки обеих частей дроби или подставь одно число в целое выражение.

После сокращения общих множителей нельзя забывать исходные ограничения. Сокращённая запись может быть определена в точке, где исходная дробь имела ноль в знаменателе, и это создаёт ложное впечатление, что точку можно вернуть. Для проверки сравни ОДЗ до и после сокращения и сохрани все исходные запреты.

Связь с другими темами

Для метода интервалов нужны навыки нахождения ОДЗ дробного выражения, решения линейных уравнений и неравенств, а также разложения многочленов на множители. Эти умения помогают быстро находить критические точки и определять знаки. Если какой-то корень или ограничение вызывает сомнение, сначала отдельно проверь соответствующее преобразование. Метод интервалов затем пригодится для более сложных рациональных и дробно-рациональных неравенств.

Что запомнить

• Сначала найди область допустимых значений.
• Для метода интервалов приведи неравенство к сравнению дроби с нулём.
• Критические точки — нули числителя и знаменателя.
• Критические точки разбивают числовую прямую на интервалы постоянного знака.
• Нули знаменателя в ответ не входят.
• Нули числителя входят в ответ только при нестрогом неравенстве.