5.2.2. Доказательство неравенств. Некоторые замечательные неравенства

Определения и обозначения

Доказательство неравенства — последовательное обоснование того, что одно выражение при заданных условиях не меньше или не больше другого. Недостаточно проверить несколько подходящих чисел: доводы должны работать для всех значений, которые разрешены условием. Такое доказательство помогает уверенно сравнивать выражения и обосновывать каждый шаг решения.

Равносильные неравенства — неравенства с одинаковым множеством решений, то есть с одними и теми же значениями переменной, при которых они верны. Переход от одного неравенства к другому сохраняет истинность только при соблюдении условий преобразования. Это понятие нужно, чтобы преобразовывать неравенство, не теряя его решений и не добавляя лишних.

Замечательные неравенства — часто используемые неравенства, верные при определённых условиях и помогающие доказывать другие утверждения. Например, a² + b² ≥ 2ab верно для любых действительных a и b. Такие неравенства удобно узнавать по знакомому виду и применять как готовую основу рассуждения, обязательно проверяя их условия.

Как это устроено

Чтобы доказать, что левая часть не меньше правой, можно вычесть правую часть из левой и показать, что разность неотрицательна. Это работает потому, что неравенство A ≥ B равносильно условию A − B ≥ 0: вычитание B из обеих частей не меняет их сравнение. Если нужно доказать A ≤ B, рассматривают разность B − A. Особенно удобно, когда разность удаётся представить квадратом или суммой выражений, о неотрицательности которых уже известно.

Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, сравнение не изменится. Например, из A ≥ B следует A + C ≥ B + C: обе части сдвигаются на одинаковую величину, поэтому их разность остаётся прежней. Умножение обеих частей на положительное число тоже сохраняет знак, поскольку положительный множитель не меняет знак разности. Эти свойства позволяют преобразовывать неравенства и получать более удобную форму.

При умножении обеих частей на отрицательное число знак нужно поменять на противоположный. Например, из 3 > 1 следует −3 < −1, а не −3 > −1: на числовой прямой умножение на отрицательное число меняет порядок чисел. При делении на отрицательное число происходит то же самое. Если же знак выражения, на которое умножают или делят, заранее неизвестен, нужно разделить рассуждение на случаи, иначе можно выбрать неверный знак.

Квадрат разности неотрицателен: (a − b)² ≥ 0 при любых действительных a и b. Раскроем скобки: a² − 2ab + b² ≥ 0; прибавление 2ab к обеим частям даёт a² + b² ≥ 2ab. Равенство достигается, когда квадрат равен нулю, то есть при a − b = 0 и a = b. Для любого другого соотношения a и b неравенство будет строгим.

Если слагаемых несколько, неравенство a² + b² ≥ 2ab применяют к выбранным парам или доказывают утверждение через сумму квадратов. Например, для трёх чисел разность a² + b² + c² − ab − bc − ca равна половине суммы квадратов разностей. Группировать слагаемые можно по-разному, но нужно проверить, что полученные пары подходят для применения неравенства, а преобразования сохраняют исходное сравнение. Равенство возможно только тогда, когда все квадраты в такой сумме равны нулю.

Замечательные неравенства и способы их обоснования

В таблице собраны три неравенства, которые удобно узнавать и использовать при доказательствах. Сначала проверь условия, а затем посмотри, из какого неотрицательного выражения получается нужная разность. Последний столбец помогает найти значения, при которых неравенство превращается в равенство.

Разбор задач

Задача 1. Докажите, что x² + 9 ≥ 6x для любого действительного x. Удобно перенести все слагаемые в одну часть и проверить знак разности. Выражение слева после переноса оказывается квадратом, а он неотрицателен.

1. Вычтем 6x из обеих частей: требуется доказать x² − 6x + 9 ≥ 0.
2. Сверим выражение с формулой квадрата разности: x² − 6x + 9 = (x − 3)².
3. Поскольку квадрат действительного числа неотрицателен, получаем (x − 3)² ≥ 0 при любом x.

Ответ: неравенство верно для любого действительного x; равенство получается при x = 3. Это значение находим, приравнивая квадрат к нулю.

Задача 2. Докажите, что a² + b² ≥ 2ab для любых действительных a и b. Прямое сравнение частей можно заменить исследованием их разности. Выберем порядок вычитания так, чтобы получить знакомый квадрат.

1. Вычтем правую часть из левой: a² + b² − 2ab.
2. Представим разность как квадрат: a² − 2ab + b² = (a − b)².
3. Так как (a − b)² ≥ 0 для всех действительных a и b, разность частей неотрицательна, значит, a² + b² ≥ 2ab.

Ответ: неравенство доказано для любых действительных a и b. Равенство достигается при a = b, потому что тогда квадрат разности равен нулю.

Задача 3. Докажите, что a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca для любых действительных a, b и c. Здесь разность частей не сразу выглядит квадратом, поэтому представим её как сумму квадратов разностей. Каждое слагаемое в такой сумме неотрицательно.

1. Вычтем правую часть из левой: a² + b² + c² − ab − bc − ca.
2. Раскроем скобки в выражении ½((a − b)² + (b − c)² + (c − a)²). После сокращения оно равно a² + b² + c² − ab − bc − ca.
3. Все три квадрата неотрицательны, поэтому их сумма и половина этой суммы неотрицательны. Значит, разность частей неотрицательна и исходное неравенство верно.

Ответ: неравенство верно для любых действительных a, b и c. Равенство возможно, если каждый квадрат равен нулю: a = b, b = c и c = a, то есть a = b = c.

Типичные ошибки

Умножают или делят обе части на выражение неизвестного знака, не разбирая случаи. Так делают, когда забывают, что правило преобразования зависит от знака множителя: для положительного и отрицательного числа результат разный. Перед таким действием проверь знак выражения или раздели решение на случаи. Если это невозможно, не используй преобразование как будто множитель заведомо положителен.

При умножении на отрицательное число оставляют прежний знак неравенства. Ошибка возникает из-за привычки переносить правила равенств на неравенства, хотя порядок чисел при умножении на отрицательное меняется. Проверить себя можно на простом примере: из 2 > 1 при умножении на −1 получается −2 < −1. Значит, знак обязательно нужно перевернуть.

Утверждают, что неравенство строгое, хотя равенство возможно. Это случается, если замечают положительные значения разности, но не проверяют, может ли она обратиться в ноль. Найди условие равенства, приравняв разность частей нулю. Например, (a − b)² равно нулю при a = b, поэтому a² + b² > 2ab неверно для всех a и b.

Доказывают общее утверждение несколькими примерами. Подстановка чисел может помочь заметить закономерность или проверить вычисления, но она подтверждает утверждение только для этих чисел. Чтобы доказать его для всех допустимых значений, нужно получить обоснование, которое не зависит от конкретного примера. В конце проверь, что каждый шаг работает при всех значениях из условия.

Связь с другими темами

Для доказательства нужны свойства числовых неравенств: с их помощью можно прибавлять одинаковые числа и умножать обе части с учётом знака множителя. Без этих правил нельзя надёжно преобразовывать сравнения. Вспомни также, как раскрывается квадрат разности.

Умение раскладывать квадрат разности и преобразовывать многочлены помогает увидеть неотрицательную разность частей. Иногда выражение нужно не только раскрыть, но и, наоборот, представить в виде квадрата или суммы квадратов. Так знакомые тождества становятся инструментом доказательства.

Доказательства неравенств пригодятся, когда нужно сравнить выражения или обосновать оценку в задаче. Они помогают объяснять, почему найденная граница верна, а не просто подходит для нескольких примеров. Те же рассуждения используются при решении неравенств.

Что запомнить

• Для доказательства сравнивают левую и правую части или исследуют их разность.
• Квадрат любого действительного числа неотрицателен.
• Из (a − b)² ≥ 0 следует a² + b² ≥ 2ab.
• При умножении на отрицательное число знак неравенства меняют на противоположный.
• Условия применения неравенства и случаи равенства нужно проверять.