5.2.3.*3 3адачи на максимум и минимум

Определения и обозначения

Область допустимых значений — какие значения переменных разрешены условием задачи. Например, длина стороны не может быть отрицательной, а сторона прямоугольника с периметром 32 см меньше 16 см. Это множество ограничений показывает, какие значения можно подставлять в выражение.

Максимум выражения — наибольшее значение, которое выражение принимает при допустимых значениях переменных. Если площадь может быть равна 12, 15 и 16 см², то максимум равен 16 см². Искомое значение помогает выбрать самый выгодный вариант.

Минимум выражения — наименьшее значение, которое выражение принимает при допустимых значениях переменных. Например, среди разрешённых значений стоимости минимумом будет самая маленькая возможная стоимость. Чтобы не получить ложный результат, минимум ищут только внутри области допустимых значений.

Оптимальное значение — найденный максимум или минимум, соответствующий наилучшему варианту. В задаче о площади это может быть наибольшая площадь, а в задаче о расходах — наименьшая сумма. Вместе с ним обычно указывают, при каких размерах или значениях переменной он достигается.

Как это устроено

Сначала практическую задачу переводят на язык математики. Выбирают переменную, выражают через неё остальные величины, записывают ограничения и формулу того, что нужно сделать наибольшим или наименьшим. Такая последовательность не позволяет случайно исследовать выражение, не связанное с условием.

Когда все величины выражены через одну переменную, в формулах площади, произведения или стоимости часто появляются переменная и её квадрат. Поэтому получается функция вида ax² + bx + c. Её область определения берётся не только из самой формулы, но прежде всего из смысла задачи: длины, время и количество обычно не могут быть отрицательными.

Квадратичное выражение удобно преобразовать выделением полного квадрата. Например, y = −(x − 4)² + 13: квадрат неотрицателен, значит, слагаемое −(x − 4)² не превосходит нуля. Поэтому наибольшее значение равно 13 и достигается при x = 4.

Неравенство квадрата даёт тот же вывод в более общем виде: (a − b)² ≥ 0, значит, a² + b² ≥ 2ab. При a = b достигается равенство, поэтому при фиксированной сумме произведение двух чисел максимально, когда они равны. Этот приём особенно полезен для задач о прямоугольниках и площадях.

После нахождения экстремального значения нужно проверить, разрешено ли найденное значение условием. Если функция задана на отрезке, сравнивают значения в вершине и на обоих концах, если вершина попала в отрезок. Затем результат переводят обратно в исходную ситуацию и записывают единицы измерения.

Основные способы решения задач на максимум и минимум

В таблице показан один из типичных геометрических случаев. Сначала составляют модель по формулам, затем выбирают приём, который сразу указывает на условие равенства. Это условие помогает найти не только экстремальное значение, но и размеры фигуры.

Разбор задач

1. Экстремум квадратичной функции на отрезке

Условие. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y = −x² + 8x − 3 на отрезке [0; 7]. Здесь ограничение сразу задаёт область допустимых значений: 0 ≤ x ≤ 7.

1. Выделим полный квадрат: y = −(x² − 8x) − 3 = −(x − 4)² + 13.
2. Вершина имеет абсциссу x = 4, и она принадлежит отрезку. Поэтому значение в вершине равно 13.
3. Проверим концы: y(0) = −3, y(7) = −49 + 56 − 3 = 4. Сравнение −3, 4 и 13 показывает оба экстремума.

Ответ: наибольшее значение 13 при x = 4; наименьшее значение −3 при x = 0.

2. Прямоугольник с наибольшей площадью

Условие. Из всех прямоугольников с периметром 32 см найти прямоугольник наибольшей площади. Обозначим одну сторону через x, тогда другая сторона определяется постоянным периметром.

1. Из 2x + 2y = 32 получаем y = 16 − x, причём 0 < x < 16.
2. Площадь S = x(16 − x) = −(x − 8)² + 64. Квадрат неотрицателен, поэтому S ≤ 64.
3. Равенство достигается при x = 8, тогда y = 8. Значит, оптимальный прямоугольник имеет равные стороны.

Ответ: квадрат со стороной 8 см; наибольшая площадь равна 64 см².

3. Площадь прямоугольного треугольника

Условие. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10 см. Найти наибольшую возможную площадь. Обозначим катеты через x и y, тогда по теореме Пифагора x² + y² = 100.

1. Площадь равна S = xy/2. Из неравенства x² + y² ≥ 2xy следует 100 ≥ 2xy, значит, xy ≤ 50.
2. Следовательно, S = xy/2 ≤ 25. Равенство возможно, когда x = y.
3. При равных катетах каждый равен 10/√2 = 5√2 см, поэтому условие достижимо.

Ответ: наибольшая площадь равна 25 см²; она достигается у равнобедренного прямоугольного треугольника.

Типичные ошибки

Поиск без ограничений. Иногда ученик находит экстремум для всех чисел, забывая, что стороны или время ограничены условием. Так можно получить отрицательную длину или значение за пределами отрезка. Выпишите область допустимых значений до исследования функции.

Проверка только вершины. Вершина параболы не всегда лежит на заданном отрезке, а при вершине вне отрезка экстремум ищется на концах. Ошибка возникает, когда известное правило применяют без проверки. Подставьте координату вершины в ограничения и сравните все допустимые кандидаты.

Путаница значения и точки. Число x = 4 — это точка или значение переменной, где достигается максимум, а y = 13 — сам максимум функции. Их записывают в разных частях ответа. Проверьте, что вопрос просит найти: значение, размеры или положение.

Нет ответа в терминах задачи. После вычислений иногда оставляют только формулу и забывают назвать фигуру, величину и единицы измерения. Число без пояснения может не отвечать исходному вопросу. Вернитесь к условию и укажите оптимальные размеры, величину и единицы.

Связь с другими темами

Для решения нужны свойства квадратичной функции, координаты вершины параболы и преобразование выделением полного квадрата. Эти знания объясняют, почему функция возрастает до вершины или убывает после неё.

Практические модели используют линейные ограничения, формулы площади и теорему Пифагора. Поэтому алгебраическое решение часто начинается с геометрического или бытового условия.

Тема продолжает изучение неравенств и функций. В дальнейшем те же идеи применяются в геометрических задачах, исследовании графиков и прикладном моделировании.

Что запомнить

• Сначала определяют допустимые значения переменных, затем выражение, которое нужно максимизировать или минимизировать.
• Оптимизационную задачу сводят к поиску максимума или минимума функции.
• Квадратичное выражение удобно исследовать после выделения полного квадрата.
• На отрезке экстремум может достигаться как в вершине параболы, так и на конце отрезка.
• В задачах на произведение при фиксированной сумме максимум достигается при равенстве величин.
• Найденное значение проверяют по условию и переводят в ответ исходной задачи.