5.1.5.* Способы решения дробно-рациональных уравнений

Определения и обозначения

Дробно-рациональное уравнение — уравнение, в котором неизвестная входит в знаменатель хотя бы одной дроби. Например, в уравнении 1/(x − 2) = 3 неизвестная x находится в знаменателе. Такие уравнения нужно решать аккуратно: не каждое число можно подставить вместо неизвестной. Именно поэтому сначала выясняют, при каких значениях уравнение имеет смысл.

ОДЗ — множество значений неизвестной, при которых все знаменатели уравнения не равны нулю. Чтобы найти ОДЗ, каждый знаменатель приравнивают к нулю и исключают полученные значения. Например, для дроби 1/(x − 2) условие имеет вид x − 2 ≠ 0, то есть x ≠ 2. ОДЗ помогает не принять запрещённое значение за корень.

Допустимое значение — значение неизвестной, принадлежащее ОДЗ. Его можно подставить в исходное уравнение так, чтобы ни один знаменатель не стал нулём. Это ещё не означает, что значение является решением: равенство тоже должно выполняться. Поэтому допустимость — необходимая проверка, но не окончательный ответ.

Равносильные уравнения — уравнения, имеющие одно и то же множество решений. При решении важно сохранять равносильность, чтобы не потерять корни и не добавить лишние. Например, умножение обеих частей на выражение допустимо без потери равносильности, если это выражение не равно нулю на рассматриваемой ОДЗ. Если условие не учесть, найденные значения придётся проверять отдельно.

Как это устроено

Перед решением дробно-рационального уравнения находят ОДЗ, потому что делить на ноль нельзя: такая дробь не имеет значения. Если не отметить запрет заранее, в ходе преобразований можно получить число, при котором исходное уравнение вообще не определено. Например, после избавления от знаменателей уравнение может дать корень, обращающий один из них в ноль. ОДЗ позволяет отличить настоящий возможный корень от такого лишнего значения.

Когда в уравнении несколько дробей, их часто удобно убрать умножением обеих частей на общий знаменатель — выражение, кратное всем знаменателям. Это преобразование сохраняет равносильность на ОДЗ, потому что общий знаменатель там не равен нулю и умножение на него обратимо. Например, после умножения можно получить линейное или квадратное уравнение, которое проще решить. Если не зафиксировать ненулевое значение множителя, преобразование может быть неравносильным, поэтому ограничения записывают заранее.

Если уравнение имеет вид дробь равна нулю, полезно свойство: дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это следует из того, что ноль получается при нулевом числителе, но деление на ноль запрещено. Значит, сначала решают уравнение для числителя, а затем проверяют найденные значения по знаменателю. Так можно быстро найти кандидатов в корни и не забыть условие существования дроби.

Разложение на множители упрощает уравнение, когда числитель или знаменатель можно представить произведением. Если дробь равна нулю, приравнивают к нулю множители числителя, а множители знаменателя используют для записи запретов. Значение может оказаться корнем числителя и одновременно обнулить знаменатель, поэтому его всё равно исключают. Сокращение общего множителя не отменяет ограничение, возникшее в исходной дроби: после сокращения оно просто становится менее заметным.

Замена переменной помогает, когда одно и то же сложное дробное выражение встречается несколько раз. Его обозначают, например, буквой t, и исходное уравнение превращается в более простое уравнение относительно t. После решения нужно вернуться к исходной переменной: каждое найденное значение t задаёт отдельное уравнение для x, которое ещё предстоит решить. Затем проверяют, что полученные x входят в исходную ОДЗ и подходят исходному уравнению.

Основные способы решения дробно-рациональных уравнений

Сначала определите ОДЗ, а затем выберите способ, который сокращает число вычислений: ориентируйтесь на вид дробей и повторяющиеся выражения. Таблица подсказывает основные действия, но не отменяет проверки найденных корней. Если подходят сразу несколько способов, выбирайте тот, где меньше сложных преобразований.

Разбор задач

Решим уравнение (3x − 1)/(x + 2) = 2. Здесь знаменатель простой, а правая часть — целое число, поэтому удобно умножить обе части на x + 2. Сначала выясним, при каких x исходное равенство определено, и сохраним это ограничение при решении.

1. Знаменатель не должен быть равен нулю: x + 2 ≠ 0, поэтому x ≠ −2.
2. Умножаем обе части уравнения на x + 2: 3x − 1 = 2(x + 2). Это допустимо на найденной ОДЗ.
3. Раскрываем скобки и решаем: 3x − 1 = 2x + 4, откуда x = 5.
4. Проверяем: 5 не равно −2, а подстановка даёт (15 − 1)/7 = 2. Значит, найденное число подходит исходному уравнению.

Ответ: x = 5.

Теперь решим уравнение (x² − 5x + 6)/(x² − 9) = 0. Оно уже имеет вид дробь равна нулю, поэтому достаточно исследовать числитель, не забывая о знаменателе. Такое решение особенно удобно, если числитель легко разложить на множители.

1. Находим ОДЗ: x² − 9 ≠ 0, то есть (x − 3)(x + 3) ≠ 0; поэтому x ≠ 3 и x ≠ −3.
2. Приравниваем числитель к нулю: x² − 5x + 6 = 0. Разложение на множители даёт (x − 2)(x − 3) = 0.
3. Получаем кандидатов x = 2 и x = 3. Значение 3 запрещено ОДЗ, потому что оно обращает знаменатель в ноль.
4. Значение 2 допустимо, и числитель при нём равен нулю. Поэтому единственный корень исходного уравнения — 2.

Ответ: x = 2.

В третьем уравнении ((x² + 1)²)/x² − 5(x² + 1)/x + 6 = 0 повторяется выражение (x² + 1)/x. Обозначим его буквой t: это позволит сначала решить квадратное уравнение, а затем вернуться к x. В исходном уравнении x стоит в знаменателе, поэтому сразу записываем x ≠ 0.

1. Положим t = (x² + 1)/x. Тогда первый член равен t², и получаем t² − 5t + 6 = 0.
2. Раскладываем: (t − 2)(t − 3) = 0, поэтому t = 2 или t = 3.
3. При t = 2 имеем (x² + 1)/x = 2, то есть x² − 2x + 1 = 0. Отсюда x = 1.
4. При t = 3 получаем x² − 3x + 1 = 0. Корни этого уравнения: x = (3 + √5)/2 и x = (3 − √5)/2.
5. Все три найденных значения не равны нулю. Обратная замена выполнена, а проверка допустимости показывает, что каждое значение подходит исходному уравнению.

Ответ: x = 1, x = (3 + √5)/2, x = (3 − √5)/2.

Типичные ошибки

Не находят ОДЗ и включают в ответ числа, при которых знаменатель равен нулю. Так происходит, если ученик решает только полученное после преобразований уравнение и считает все его корни подходящими. Проверьте каждый знаменатель исходного уравнения до решения и сравните с ним найденные значения. Корень, запрещённый хотя бы одним знаменателем, нужно отбросить.

Умножают обе части на знаменатель, не записав, что он не равен нулю. В результате забывают, при каком условии преобразование сохраняет равносильность, и могут принять лишнее значение. Перед умножением укажите ОДЗ, а после решения проверьте корни по этому условию. Особенно внимательно следите за общим знаменателем, если он содержит несколько множителей.

Сокращают общий множитель в числителе и знаменателе, а затем забывают о значениях, при которых он равен нулю. Сокращённая дробь может выглядеть определённой там, где исходная дробь не имела смысла. До сокращения запишите запрет, полученный из исходного знаменателя, и сохраните его до конца решения. Для самопроверки подставьте подозрительное значение именно в исходную дробь.

После замены переменной решают уравнение относительно новой буквы, но не возвращаются к x или не проверяют полученные числа. Значения t сами по себе обычно не являются корнями исходного уравнения: их ещё нужно использовать в обратной замене. Для проверки выпишите отдельное уравнение для x при каждом значении новой переменной. В конце убедитесь, что найденные числа входят в исходную ОДЗ и удовлетворяют исходному равенству.

Связь с другими темами

Для решения дробно-рациональных уравнений нужны действия с алгебраическими дробями и умение раскладывать многочлены на множители. Также пригодятся способы решения линейных и квадратных уравнений: именно к ним часто сводятся исходные задачи. Если эти действия вызывают затруднение, стоит сначала повторить их на простых примерах.

Тема опирается на понятия области допустимых значений и равносильных преобразований. Они объясняют, почему ограничения нужно записывать до упрощения и почему нельзя без проверки умножать на выражение, которое может обратиться в ноль. Это общий принцип работы с выражениями и уравнениями, а не только с дробями.

Освоенные способы пригодятся при решении более сложных рациональных уравнений и неравенств. Они также помогают в задачах с параметрами, где нужно учитывать, как меняются ограничения и корни при разных значениях параметра. Поэтому привычка проверять ОДЗ будет полезна и в следующих темах алгебры.

Что запомнить

• Сначала находят ОДЗ, затем преобразуют уравнение.
• Знаменатель дроби не может быть равен нулю.
• Умножать обе части на общий знаменатель можно с учётом ОДЗ.
• Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
• После решения нужно исключить запрещённые значения.
• При замене переменной обязательно выполняют обратную замену.
• Каждый найденный корень желательно проверить в исходном уравнении.