5.1.4. Дробно-рациональные уравнения

Определения и обозначения

Дробно-рациональное уравнение — уравнение, в котором переменная содержится в знаменателе хотя бы одной дроби. Например, 1/(x − 2) = 3 — такое уравнение, потому что знаменатель зависит от x. Название показывает, что в уравнении есть дроби с алгебраическими выражениями, а не только числами. Это определение помогает сразу заметить, что некоторые значения переменной могут быть запрещены.

Область допустимых значений, или ОДЗ, — набор значений переменной, при которых все выражения уравнения имеют смысл. В дробях знаменатель не может равняться нулю, поэтому значения, обращающие его в ноль, исключают. Например, для дроби 1/(x − 2) нужно условие x ≠ 2. Запись ОДЗ нужна, чтобы не принять запрещённое значение за корень.

Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство. Для дробно-рационального уравнения корнем может быть только значение из ОДЗ. Это означает, что решения проверяют не только по полученному уравнению, но и по исходным знаменателям. Такая проверка позволяет отбросить значения, которые появились из-за преобразований.

Как это устроено

Первым делом выписывают ограничения на знаменатели, потому что делить на ноль нельзя. Для этого каждый знаменатель приравнивают к нулю и находят запрещённые значения переменной. Например, если есть знаменатели x − 1 и x + 3, то ОДЗ задаётся условиями x ≠ 1 и x ≠ −3. Записать ограничения заранее удобнее, чем пытаться вспомнить о них в конце решения.

Затем ищут общий знаменатель дробей. Он должен содержать все множители, которые есть в отдельных знаменателях; если множитель повторяется, обычно достаточно взять его один раз. Например, для знаменателей x и x + 2 общий знаменатель — x(x + 2). Он нужен, чтобы умножение обеих частей уравнения убрало все дробные черты сразу.

После этого обе части уравнения умножают на общий знаменатель. Такое действие сохраняет равенство, если множитель не равен нулю; именно поэтому ранее составленная ОДЗ здесь необходима. В результате дроби сокращаются, и вместо дробно-рационального уравнения получается обычное уравнение — например, линейное или квадратное. Его решают знакомым способом, не забывая, что пока получены лишь кандидаты в корни.

Наконец, каждый кандидат сравнивают с ограничениями и подставляют в исходное уравнение. Если значение запрещено ОДЗ, его сразу отбрасывают: исходное выражение при нём не существует. Допустимые значения проверяют подстановкой, потому что преобразование могло привести к появлению лишнего решения. В ответ включают только те значения, которые одновременно допустимы и делают исходное равенство верным.

Алгоритм решения дробно-рационального уравнения

Пользуйся таблицей как последовательным планом: переходи к следующему этапу только после того, как закончил предыдущий. Особенно не пропускай ОДЗ и проверку — именно они отличают аккуратное решение дробного уравнения от решения обычного. Если знаменатели простые, общий знаменатель легко увидеть; если они разложены на множители, сначала приведи их к такому виду.

Разбор задач

Решим уравнение 1/(x − 2) = 3/(x + 2). Сначала определим, какие значения x нельзя подставлять: знаменатели должны оставаться ненулевыми. Затем избавимся от дробей, решим получившееся уравнение и проверим ответ именно в исходной записи.

1. Запишем ОДЗ: x − 2 ≠ 0 и x + 2 ≠ 0, значит, x ≠ 2 и x ≠ −2. Эти два значения запрещены, потому что при них одна из дробей не определена. Остальные значения пока могут быть решениями.

2. Найдём общий знаменатель: это (x − 2)(x + 2). Умножим на него обе части равенства; на ОДЗ этот множитель не равен нулю, поэтому равенство сохраняется. Получим (x + 2) = 3(x − 2), так как одинаковые множители в каждой дроби сокращаются.

3. Решим уравнение: x + 2 = 3x − 6. Переносим слагаемые: 8 = 2x, поэтому x = 4. Это кандидат в корни, и теперь нужно сравнить его с запретами, которые были найдены до преобразований.

4. Число 4 не равно ни 2, ни −2, значит, оно входит в ОДЗ. Проверим исходное равенство: 1/(4 − 2) = 1/2, а 3/(4 + 2) = 3/6 = 1/2. Левая и правая части равны, поэтому ответ: x = 4.

Результат можно проверить и по смыслу действий: умножение было выполнено на выражение, которое не обращается в ноль при допустимых x. Тем не менее проверка исходного уравнения остаётся необходимой частью решения. Если бы найденное значение совпало с 2 или −2, его пришлось бы исключить, даже если оно удовлетворяет преобразованному уравнению. Ответ записывают только после этой проверки.

Типичные ошибки

• Не записывают ОДЗ и случайно оставляют значение, при котором знаменатель равен нулю. Так происходит, когда уравнение сразу умножают на общий знаменатель и сосредотачиваются на вычислениях. Проверь себя: для каждого знаменателя отдельно найди, при каком x он обращается в ноль, и сверь ответ с этим списком.

• Умножают на общий знаменатель только одно слагаемое или забывают умножить на него целую часть уравнения. Ошибка возникает, если не распределить множитель по всем членам обеих частей. Проверь преобразование, записав умножение в скобках для каждой стороны, а затем сократив множители по отдельности.

• Сокращают сумму или разность на отдельное слагаемое, например считают, что (x + 2)/x = 2. Сокращать можно только одинаковые множители, а не части суммы. Проверь себя разложением на множители: если общий множитель не выделен во всём числителе, сокращение недопустимо.

• Не проверяют найденные значения в исходном уравнении. Обычно кажется, что после решения полученного уравнения работа закончена, но преобразования могут дать лишний кандидат или нарушить ОДЗ. Подставь каждое значение в исходную запись и убедись, что знаменатели не нулевые, а обе части равны.

Связь с другими темами

Для решения дробно-рациональных уравнений нужны действия с алгебраическими дробями: нахождение общего знаменателя, умножение и сокращение дробей. После избавления от знаменателей часто получается линейное или квадратное уравнение, поэтому пригодятся соответствующие способы решения. ОДЗ связана с понятием области определения выражения: она показывает, при каких значениях переменной запись имеет смысл. Эти знания применяются и в текстовых задачах на скорость или совместную работу, где величины часто задаются отношениями.

Что запомнить

• Переменная в знаменателе означает, что нужно определить запрещённые значения.
• ОДЗ составляют до преобразований: каждый знаменатель должен быть отличен от нуля.
• Чтобы убрать дроби, обе части умножают на общий знаменатель.
• Полученные значения — кандидаты в корни; запрещённые значения отбрасывают.
• Окончательный ответ проверяют подстановкой в исходное уравнение.