"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г., П.В. Семенов (часть 1), Мордкович А.Г., Александрова А.Л., Мишустина Т.Н. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Рациональное неравенство содержит дробь, в которой числитель и знаменатель — многочлены. Его решение зависит не только от того, где выражение положительно или отрицательно, но и от того, где оно вообще определено. Метод интервалов помогает найти такие значения системно: отмечают нули числителя и знаменателя, проверяют знаки на промежутках и учитывают, какие граничные точки можно включить в ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Рациональное неравенство — неравенство, в котором есть рациональное выражение, обычно отношение многочленов. Например, (x − 2)/(x + 1) > 0 — рациональное неравенство. Его решают не только поиском корней, но и выяснением знака дроби при разных значениях переменной. Это нужно, чтобы найти все значения, при которых неравенство верно.
Область допустимых значений, или ОДЗ, рационального выражения — все значения переменной, при которых знаменатель не равен нулю. Например, для дроби 1/(x − 4) нельзя брать x = 4, потому что на ноль делить нельзя. ОДЗ находят до решения неравенства, чтобы сразу исключить недопустимые значения. Такие значения не могут попасть в ответ.
Критические точки — это нули числителя и знаменателя рационального выражения. Они разбивают числовую прямую на промежутки, внутри которых выражение не обращается в ноль и не становится неопределённым. Поэтому знак дроби на одном таком промежутке не меняется. Отметив критические точки, удобно отдельно исследовать каждый промежуток.
Метод интервалов — способ решать неравенства, определяя знак выражения на промежутках между критическими точками. Для этого выражение раскладывают на множители, находят точки, в которых множитель обращается в ноль, а затем проверяют знак на каждом участке. Метод полезен, когда неравенство можно представить как произведение или частное многочленов. В конце отдельно решают, какие граничные точки включить в ответ.
Сначала находят значения, обращающие знаменатель в нуль, и исключают их из ОДЗ. При таких значениях дробь не имеет числового значения, поэтому сравнивать её с нулём нельзя. Если забыть об этом шаге, в ответ может попасть точка, в которой исходное неравенство вообще не существует. Даже если позднее дробь удастся сократить, запрет исходного знаменателя сохраняется.
Затем числитель и знаменатель раскладывают на множители, если это возможно. Каждый множитель даёт значение переменной, при котором числитель или знаменатель становится нулём; эти значения и будут критическими точками. Разложение помогает увидеть, из каких частей складывается знак дроби. Например, при x − 2 = 0 числитель меняет нулевое значение именно в точке x = 2.
На промежутке без критических точек ни один множитель не обращается в ноль. Чтобы знак произведения или частного изменился, один из множителей должен пройти через ноль, а такой переход возможен только через критическую точку. Поэтому на всём промежутке знак остаётся постоянным. Это объясняет, почему достаточно проверить одно значение, а не подставлять все числа подряд.
Для проверки выбирают удобную контрольную точку из каждого промежутка и подставляют её в исходное выражение или оценивают знаки его множителей. Полученный знак распространяют на весь промежуток, а затем оставляют те участки, которые удовлетворяют условию. Нули числителя включают только при нестрогом неравенстве, потому что тогда равенство нулю допустимо. Нули знаменателя не включают никогда, поскольку выражение в них не определено.
| Элемент решения | Что найти или сделать | Как учитывать в ответе |
|---|---|---|
| Область допустимых значений | Значения, при которых знаменатель равен нулю | Исключить из ответа |
| Критические точки | Нули числителя и знаменателя | Нанести на числовую прямую в порядке возрастания |
| Знаки на промежутках | Определить знак выражения на каждом промежутке | Выбрать промежутки с нужным знаком |
| Граничные точки | Проверить строгость неравенства и принадлежность точек ОДЗ | Включить нули числителя только при нестрогом неравенстве |
Двигайтесь по таблице сверху вниз: сначала выясните, где выражение определено, затем отметьте критические точки и исследуйте знаки. В конце проверьте каждую границу отдельно. Это помогает не спутать нули числителя с запрещёнными значениями знаменателя.
Ответ: (−∞; −1) ∪ (2; +∞).
Ответ: (−∞; 1) ∪ [2; 3].
Ответ: (−∞; −3) ∪ (−1; 1) ∪ (1; 2).
Иногда знаменатель приравнивают к нулю и включают полученную точку в ответ. Так происходит, если считать её обычной границей промежутка и забыть, что деление на ноль не определено. Перед записью ответа проверьте каждую его границу по исходному знаменателю. Значения, запрещённые ОДЗ, всегда остаются исключёнными.
При нестрогом неравенстве можно ошибочно включить все граничные точки без проверки. Но равенство нулю допустимо только для нулей числителя, а точка, обращающая знаменатель в ноль, недопустима. Проверьте, какой именно частью дроби получена каждая критическая точка. Если это нуль числителя, он включается при ≤ или ≥.
Знак произведения или частного иногда определяют по одному отрицательному множителю, не учитывая остальные. Например, два отрицательных множителя дают положительное произведение, а не отрицательное. Подставьте контрольное число в каждый множитель и посчитайте число отрицательных значений. При чётном их количестве результат положителен, при нечётном — отрицателен.
После сокращения дроби можно забыть о значении, запрещённом исходным знаменателем. Сокращение упрощает выражение, но не меняет область допустимых значений исходного неравенства. Поэтому сначала выпишите ограничения, а затем сокращайте, если это нужно. В конце сравните ответ с выписанной ОДЗ.
Для решения рациональных неравенств нужны навыки разложения многочленов на множители, решения квадратных уравнений и сравнения чисел на числовой прямой. Тема продолжает изучение линейных и квадратных неравенств: здесь тоже исследуют знаки, но у дроби нужно отдельно учитывать знаменатель. Метод интервалов обобщает работу со знаками произведений и помогает изучать рациональные функции. Он также пригодится при решении систем неравенств, где нужно пересекать найденные множества решений.
Почему нельзя сразу умножить неравенство на знаменатель?
Знак знаменателя заранее неизвестен, поэтому при умножении на отрицательное выражение знак неравенства нужно менять. Если же знаменатель равен нулю, исходное выражение не определено. Метод интервалов учитывает оба обстоятельства.
Как понять, какие точки отмечать на числовой прямой?
Нужно найти все нули числителя и знаменателя после разложения на множители. Эти значения разделяют прямую на промежутки, где знак выражения постоянен. Точки знаменателя при этом всегда отмечают как исключённые.
Почему ноль числителя иногда включается в ответ, а ноль знаменателя — никогда?
При нуле числителя дробь равна нулю, поэтому эта точка подходит для нестрогого знака ≤ или ≥. Ноль знаменателя делает дробь неопределённой. Поэтому его нельзя включить в ответ ни при каком знаке неравенства.
Нужно ли проверять знак на каждом промежутке?
Да, знак нужно определить для каждого промежутка между критическими точками. Обычно достаточно подставить одно удобное число из промежутка: внутри него знак не меняется. Исключение связано только с тем, что можно учитывать кратности корней и менять знак по правилу.
Что изменится в методе интервалов, если один из корней имеет чётную кратность?
При переходе через корень чётной кратности знак выражения не меняется, поскольку соответствующий множитель сохраняет знак по обе стороны от корня. Саму точку всё равно отмечают на прямой. Включают её только если это ноль числителя и неравенство нестрогое.
§ 2. Рациональные неравенства
