§ 1. Линейные и квадратные неравенства

Определения и обозначения

Линейное неравенство — неравенство с одной переменной, которое после упрощения сводится к виду ax + b > 0 или к аналогичному с другим знаком; a и b — числа. Если a = 0, переменная исчезает и получается числовое утверждение, которое либо верно, либо неверно. Такое определение помогает понять, что линейная переменная не входит в выражение в квадрате или более высокой степени.

Квадратное неравенство после упрощения имеет вид ax² + bx + c > 0 или аналогичный, где a ≠ 0. Здесь x² означает произведение x на x, поэтому знак выражения зависит от значения переменной не так, как в линейном случае. Это определение подсказывает, что для решения нужно учитывать корни квадратного трёхчлена.

Равносильные неравенства — неравенства, имеющие одно и то же множество решений. Например, преобразование может изменить запись, но сохранить все значения переменной, при которых она верна. Понятие равносильности нужно, чтобы проверять, не появились ли при решении лишние ответы и не потерялись ли подходящие.

Метод интервалов — способ решения неравенств, при котором находят нули выражения, отмечают их на числовой прямой и определяют знак на каждом промежутке. Нуль — значение переменной, при котором выражение равно нулю. Метод удобен для квадратных неравенств: он показывает, какие части прямой входят в ответ.

Как это устроено

Линейное неравенство упрощают так же, как уравнение: раскрывают скобки и переносят слагаемые, чтобы переменная оказалась с одной стороны. Затем делят обе части на коэффициент при x и получают сравнение переменной с числом, например x > 4. Если коэффициент положительный, порядок сохраняется. Если он отрицательный, порядок чисел на прямой меняется на противоположный, поэтому знак неравенства переворачивают.

Для квадратного неравенства сначала находят корни соответствующего трёхчлена — значения x, при которых он равен нулю. Если корней два, их располагают по возрастанию на числовой прямой: они делят её на три промежутка. Внутри каждого промежутка знак выражения постоянен, потому что для смены знака выражение должно пройти через ноль. После определения знаков выбирают промежутки, удовлетворяющие исходному условию.

Когда у трёхчлена два различных корня, его можно записать как a(x − x₁)(x − x₂). Между корнями множители имеют противоположные знаки, поэтому их произведение противоположно знаку a; вне корней оба множителя имеют одинаковый знак, и произведение совпадает со знаком a. Это соответствует графику параболы: при a > 0 её ветви направлены вверх, при a < 0 — вниз. Поэтому знак трёхчлена между корнями отличается от знака вне их.

Если трёхчлен разложен на множители, метод интервалов позволяет определить знаки, не подставляя много чисел. Нули каждого множителя отмечают на прямой, а в каждом промежутке проверяют знаки множителей и перемножают их. Например, в произведении (x − 2)(x + 1) важны точки 2 и −1: именно в них один из множителей обращается в ноль. Между этими точками и за их пределами знак произведения устанавливают по знакам множителей.

Знак неравенства определяет, входят ли точки, в которых трёхчлен равен нулю, в ответ. При строгих знаках < и > равенство нулю не подходит, поэтому корни исключают; при ≤ и ≥ их включают. Если действительных корней нет, знак трёхчлена постоянен и определяется коэффициентом a. Если корень один и он кратный, знак по обе стороны от него не меняется, а саму точку включают только при нестрогом знаке.

Сравнение линейных и квадратных неравенств

Сравните сначала вид выражения: линейное неравенство сводится к одному граничному числу, а квадратное может иметь несколько промежутков решений. Затем выберите соответствующий приём и отдельно проверьте, включаются ли граничные точки. Эта таблица помогает не применять к квадратному неравенству правило, предназначенное для линейного.

Разбор задач

Задача 1. Решить неравенство 3x − 5 > 7. Сначала нужно оставить слагаемое с переменной отдельно, чтобы затем сравнить x с числом. Прибавим 5 к обеим частям: 3x > 12. Коэффициент 3 положительный, поэтому деление на него не меняет знак неравенства.

1. Прибавляем 5 к обеим частям: 3x − 5 + 5 > 7 + 5, значит 3x > 12.
2. Делим обе части на 3: x > 4.
3. Проверяем границу: при x = 4 получается равенство, а исходный знак строгий, поэтому 4 не входит в ответ.

Ответ: x > 4, или (4; +∞). На числовой прямой это луч вправо от 4 с выколотой граничной точкой.

Задача 2. Решить неравенство x² − 5x + 6 ≤ 0. Здесь выражение квадратное, поэтому сначала найдём его нули. Подбираем множители: числа −2 и −3 в сумме дают −5, а их произведение равно 6. Получаем (x − 2)(x − 3) ≤ 0, значит нули — 2 и 3.

1. Отмечаем 2 и 3 на числовой прямой; они задают промежутки (−∞; 2), (2; 3) и (3; +∞).
2. Между корнями множители имеют разные знаки, поэтому их произведение отрицательно; вне корней оба множителя одного знака, и произведение положительно.
3. Выбираем промежуток, где выражение не больше нуля: это участок между корнями. Так как знак ≤ нестрогий, включаем оба корня.

Ответ: x ∈ [2; 3]. На этом отрезке произведение не положительно, а в точках 2 и 3 оно равно нулю.

Задача 3. Решить неравенство −2x² + 4x − 5 > 0. Перед поиском промежутков проверим, есть ли у трёхчлена действительные корни. Его дискриминант D = 4² − 4 · (−2) · (−5) = 16 − 40 = −24, то есть D < 0. Корней нет, поэтому знак выражения не меняется.

1. Определяем коэффициент при x²: a = −2 < 0, значит парабола направлена ветвями вниз.
2. Поскольку корней нет, трёхчлен сохраняет знак коэффициента a и всюду отрицателен.
3. Исходное условие требует, чтобы выражение было больше нуля; такого значения x нет.

Ответ: решений нет, или ∅. Отрицательный коэффициент и отсутствие корней показывают, что выражение не может стать положительным.

Типичные ошибки

При умножении или делении на отрицательное число иногда оставляют прежний знак неравенства. Так происходит, если механически повторяют действия с уравнениями, забывая, что порядок чисел меняется. Проверить преобразование можно на числах: из 2 < 5 при умножении на −1 получается −2 > −5.

В квадратном неравенстве находят корни и сразу записывают их как ответ. Корни лишь разделяют прямую на промежутки, а не всегда являются всем решением. Проверьте знак трёхчлена хотя бы в одной точке каждого промежутка и выберите только те участки, которые подходят условию.

При строгом неравенстве корни ошибочно включают в ответ, а при нестрогом — исключают. Причина в том, что путают условие на промежутке с поведением выражения в самой граничной точке. Подставьте корень в трёхчлен: там получается ноль, значит при < или > он не подходит, а при ≤ или ≥ подходит.

Иногда предполагают, что у квадратного трёхчлена обязательно два корня и знак между ними всегда отличается от знака снаружи. Это верно только при двух различных действительных корнях. Сначала вычислите дискриминант: при D < 0 корней нет, а при D = 0 корень один и знак по обе стороны не меняется.

Связь с другими темами

Для решения неравенств нужны преобразования выражений и умение решать линейные уравнения: они помогают упростить запись и найти граничные значения. Также понадобится числовая прямая, чтобы изображать лучи, промежутки и объединять части ответа. Эти навыки позволяют не ограничиваться вычислением корней, а точно записывать множество решений.

Линейные и квадратные неравенства применяют при решении систем, где условия должны выполняться одновременно. Исследование знака выражения помогает выяснять, где функция положительна или отрицательна, а это связано с чтением графиков. Для квадратной функции расположение корней и направление ветвей позволяют заранее понять, на каких участках график находится выше или ниже оси x.

Что запомнить

• При умножении или делении неравенства на отрицательное число его знак меняют на противоположный.
• Решение неравенства — множество всех значений переменной, при которых оно верно.
• Корни квадратного трёхчлена разделяют числовую прямую на промежутки постоянного знака.
• При двух различных корнях знак трёхчлена вне корней совпадает со знаком коэффициента при x², а между корнями противоположен ему.
• При строгом неравенстве нули выражения не входят в ответ, при нестрогом — входят.
• Если квадратный трёхчлен не имеет действительных корней, его знак на всей числовой прямой постоянен.