"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Корень степени n из числа a — это число, n-я степень которого равна a. При нечётном показателе корень существует для любого действительного числа и единственен, а при чётном — только для a ≥ 0. Уравнение xⁿ = a при положительном a и чётном n имеет два решения, но арифметический корень ⁿ√a обозначает только неотрицательное из них. Эти правила нужны для преобразования выражений и решения уравнений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Корнем степени n из числа a называют число x, для которого xⁿ = a, где n — натуральное число, большее 1. Иными словами, найти корень — значит решить уравнение xⁿ = a. Такая связь помогает отличать сам корень от всех решений уравнения.
Если n нечётно, для любого действительного a существует единственное действительное число x, такое что xⁿ = a. Например, ⁽³⁾√(−8) = −2, потому что (−2)³ = −8. Это позволяет извлекать корни нечётной степени и из положительных, и из отрицательных чисел.
Если n чётно, действительные корни уравнения xⁿ = a существуют только при a ≥ 0. При a > 0 их два, при a = 0 — один, а при a < 0 — ни одного. Поэтому слово «корни» уравнения и обозначение арифметического корня не всегда означают одно и то же.
Арифметическим корнем степени n из неотрицательного числа a называют неотрицательное число, n-я степень которого равна a; его обозначают ⁿ√a. Например, ⁽⁴⁾√16 = 2, а не −2. Арифметический корень нужен, чтобы однозначно записывать результат извлечения корня чётной степени.
Определение корня напрямую связано с уравнением xⁿ = a: нужно найти такое значение x, которое после умножения само на себя n раз даст a. При нечётном n функция y = xⁿ сохраняет порядок чисел и принимает все действительные значения. Поэтому для каждого a график достигает уровня y = a ровно один раз, то есть решение существует и единственно.
При чётном n число x и противоположное ему число −x имеют одну и ту же n-ю степень. Кроме того, xⁿ не может быть отрицательным, потому что множители попарно дают положительный результат или ноль. Поэтому отрицательное a не имеет действительного корня, а положительное a приводит к двум противоположным решениям.
Если n чётно и a > 0, запись ⁿ√a выбирает только положительное решение. Второе решение уравнения записывают как −ⁿ√a, поэтому xⁿ = a имеет вид x = ±ⁿ√a. Например, из x⁴ = 81 получаем x = 3 и x = −3, но ⁽⁴⁾√81 = 3.
Для арифметических корней справедливы свойства ⁿ√(ab) = ⁿ√a · ⁿ√b и ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b, если выражения имеют смысл, а при чётном n подкоренные множители должны быть неотрицательными. Множитель можно вынести из-под корня, если он является полной n-й степенью: ⁿ√(bⁿa) = bⁿ√a при b ≥ 0 для чётного n. Например, ⁽⁴⁾√(16a) = 2⁽⁴⁾√a при a ≥ 0.
Возведение в степень n и извлечение корня являются взаимно обратными действиями, но знак числа при этом нельзя забывать. Для нечётного n верно ⁿ√(aⁿ) = a, поскольку знак сохраняется. Для чётного n верно ⁿ√(aⁿ) = |a|: например, ⁽⁴⁾√((−3)⁴) = 3, а не −3.
| Случай | Условие на n и a | Что означает корень | Число действительных корней уравнения xⁿ = a |
|---|---|---|---|
| n нечётное, a любое действительное | n нечётное, a ∈ R | Один действительный корень ⁿ√a | 1 |
| n чётное, a > 0 | n чётное, положительное a | Арифметический корень ⁿ√a и противоположный ему корень −ⁿ√a | 2 |
| n чётное, a = 0 | n чётное, a равно нулю | ⁿ√0 = 0 | 1 |
| n чётное, a < 0 | n чётное, отрицательное a | Действительного корня не существует | 0 |
| Арифметический корень ⁿ√a при чётном n | a ≥ 0 | Только неотрицательное значение | Не является отдельным уравнением |
Сначала определите, чётный или нечётный показатель, затем проверьте знак числа a. После этого таблица подсказывает не только существование корня, но и количество решений соответствующего уравнения. Не путайте число в третьем столбце с полным набором решений при чётном n.
Нужно найти число, куб которого равен −125, а затем записать решения уравнения. Показатель 3 нечётный, поэтому отрицательное подкоренное число допустимо. В этом случае корень будет единственным.
Ответ: ⁽³⁾√(−125) = −5; решение уравнения — x = −5. Знак результата сохраняется, потому что степень нечётная.
Показатель 4 чётный, а правая часть положительна, значит, уравнение должно иметь два противоположных решения. Сначала находим неотрицательное число, четвёртая степень которого равна 81. Затем добавляем его противоположное значение для полного ответа уравнения.
Ответ: x = 3 или x = −3; ⁽⁴⁾√81 = 3. Запись ±3 относится к решениям уравнения, а не к значению арифметического корня.
Подкоренное выражение содержит произведение 16 и a⁴, причём 16 = 2⁴. При чётном корне результат должен быть неотрицательным, поэтому знак a нельзя просто сохранить. Именно здесь появляется модуль.
Ответ: 2|a|; отдельно это 2a при a ≥ 0 и −2a при a < 0. Модуль необходим, потому что четвёртая степень не различает числа a и −a.
Ошибка: считать, что корень чётной степени существует из любого действительного числа. Её вызывают перенос правила для нечётной степени на чётную. Проверьте знак подкоренного числа: при чётном показателе отрицательное значение невозможно получить действительной степенью.
Ошибка: записывать ⁽⁴⁾√16 = ±2. Знак ± описывает два решения уравнения x⁴ = 16, но арифметический корень по определению неотрицателен. Для проверки возведите отдельно 2 и −2 в четвёртую степень, а затем вспомните, что символ корня выбирает 2.
Ошибка: считать, что ⁽⁴⁾√(a⁴) = a при любом a. Так можно рассуждать только при a ≥ 0, а при отрицательном a результат должен быть положительным. Универсальная запись — ⁽⁴⁾√(a⁴) = |a|.
Ошибка: применять свойство корня к сумме и писать ⁿ√(a + b) = ⁿ√a + ⁿ√b. Свойства произведения и частного не распространяются на сложение, что легко проверить на числах 1 и 1. Всегда сначала ищите произведение, частное или полную степень, а сумму под корнем не разделяйте без доказательства.
Для изучения корней нужны степени с натуральным показателем, свойства степеней и решение уравнений вида xⁿ = a. Эти знания позволяют понимать, почему показатель и знак подкоренного числа определяют существование корня. Без них легко перепутать корень и множество решений уравнения.
Корни используются при преобразовании выражений с радикалами и решении уравнений, содержащих степени. Свойства произведения, частного и модуль помогают упрощать такие выражения. Особенно часто встречаются корни чётной степени.
Понятие корня связано с дробными показателями степени: ⁿ√a можно записывать как a¹⁄ⁿ при допустимых значениях. Позже эти идеи применяются при изучении функций, обратных зависимостей и их графиков. Понимание области допустимых значений особенно важно для чётных корней.
Чем корень степени n отличается от арифметического корня?
Корнем степени n называют число x, для которого xⁿ = a. Арифметический корень ⁿ√a — это только неотрицательный корень, поэтому при чётном n он существует для a ≥ 0 и не включает знак ±.
Почему корень чётной степени нельзя извлечь из отрицательного числа?
Чётная степень любого действительного числа неотрицательна: и положительное, и отрицательное число после возведения в чётную степень дают результат не меньше нуля. Поэтому равенство xⁿ = a невозможно при a < 0.
Почему ⁽⁴⁾√16 равно 2, а не ±2?
Числа 2 и −2 действительно являются решениями уравнения x⁴ = 16. Но знак ± относится к обоим решениям уравнения, а арифметический корень по определению неотрицателен, поэтому ⁽⁴⁾√16 = 2.
Сколько решений имеет уравнение xⁿ = a?
При нечётном n уравнение имеет одно действительное решение для любого a. При чётном n оно не имеет решений при a < 0, одно решение x = 0 при a = 0 и два решения при a > 0: x = ⁿ√a и x = −ⁿ√a.
Можно ли извлекать корень из суммы по частям?
Нет, равенство ⁿ√(a + b) = ⁿ√a + ⁿ√b в общем случае неверно. Свойства корня позволяют разносить его через произведение и частное при подходящих условиях, но не через сумму.
§ 3. Корень степени n
