"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углублённый уровни", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Корень степени n из числа a — число, которое при возведении в n-ю степень даёт a. Для чётного n действительный арифметический корень определён только при a ≥ 0 и всегда неотрицателен; для нечётного n корень существует при любом действительном a и сохраняет его знак. Различие между корнем и решениями уравнения xⁿ = a помогает не путать √[n]{a} с ±√[n]{a}. Свойства корней позволяют упрощать выражения и решать уравнения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Корень степени n из числа a — число x, для которого xⁿ = a, где n — натуральное число больше 1. Например, 3 — корень третьей степени из 27, потому что 3³ = 27. Такое определение помогает искать число, если известны его степень и результат возведения в неё.
Арифметический корень чётной степени из неотрицательного числа a — неотрицательное число, степень которого равна a; его обозначают √[n]{a}. Например, √[4]{81} = 3, поскольку 3⁴ = 81. Неотрицательность обозначения позволяет выбрать одно значение, даже когда уравнение имеет два решения.
Корень нечётной степени из числа a — единственное действительное число, степень которого равна a. Подкоренное число при этом может быть любым действительным: например, √[3]{−8} = −2. Это определение позволяет работать с отрицательными числами, не переходя к комплексным числам.
Подкоренное выражение — выражение, стоящее под знаком корня, например a + 1 в записи √(a + 1). Для корня чётной степени оно должно принимать неотрицательные значения, иначе действительного корня нет. Проверка подкоренного выражения помогает определить, при каких значениях переменных запись имеет смысл.
Если n чётно, степень любого действительного числа неотрицательна: положительное число в чётной степени положительно, отрицательное даёт тот же результат, что и его противоположное. Поэтому уравнение xⁿ = a не может иметь действительных решений при a < 0. При a ≥ 0 решение существует: это видно из того, что функция xⁿ при x ≥ 0 принимает все неотрицательные значения.
При нечётном n знак числа при возведении в степень сохраняется: отрицательное число даёт отрицательный результат, а положительное — положительный. Кроме того, чем больше x, тем больше xⁿ, поэтому одному значению a соответствует ровно одно x. Значит, уравнение xⁿ = a имеет единственное действительное решение при любом a, в том числе при отрицательном.
Уравнение xⁿ = a и арифметический корень — не одно и то же. Если n чётно и a > 0, числа x и −x имеют одинаковую чётную степень, поэтому уравнение имеет два решения. Знак √[n]{a} выбирает только неотрицательное из них; например, уравнение x⁴ = 16 имеет решения 2 и −2, а √[4]{16} = 2.
Корни простых чисел удобно искать по таблице степеней или подбором, а результат проверять возведением в степень. Например, 5³ = 125, значит √[3]{125} = 5; для √[4]{16} проверяем 2⁴ = 16 и выбираем 2, а не −2. Такая проверка особенно полезна, когда корень извлекается из выражения или нужно учесть знак.
Корень произведения можно раскрыть как произведение корней, а корень частного — как частное корней, если выражения допустимы. Для чётного n в произведении оба множителя должны быть неотрицательными; в частном подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель — отличным от нуля. Для нечётного n эти свойства применимы к любым действительным множителям и числителю, но делить на ноль нельзя.
Связь с дробным показателем записывают так: √[n]{a} = a^(1/n), если значение корня определено в действительных числах. При нечётном n показатель допускает отрицательное a, потому что существует единственное действительное число, дающее нужную степень. При чётном n арифметический корень требует a ≥ 0: иначе действительного значения нет, а возведение в дробную степень не задаёт такой корень.
| Свойство | Чётная степень n | Нечётная степень n |
|---|---|---|
| Условие существования действительного корня | a ≥ 0 | Любое действительное a |
| Знак значения корня | Неотрицательный | Знак совпадает со знаком a |
| Количество решений уравнения xⁿ = a | Два при a > 0; одно при a = 0; ни одного при a < 0 | Одно при любом a |
| Пример | √[4]{81} = 3 | √[3]{−8} = −2 |
Сначала найди строку с нужным свойством, затем сравни условия для чётной и нечётной степени. Особенно внимательно различай значение арифметического корня и количество решений уравнения.
Нужно подобрать числа, чьи степени совпадают с подкоренными выражениями. В первом случае степень нечётная, поэтому отрицательный результат возможен; во втором арифметический корень должен быть неотрицательным.
Ответ: √[3]{−125} = −5, √[4]{81} = 3. Проверка возведением в указанную степень подтверждает оба результата.
Здесь можно применить свойства корня произведения и частного. Для корня четвёртой степени проверяем, что числитель и знаменатель подкоренного выражения неотрицательны, а знаменатель не равен нулю.
Ответ: 6 и 2/3. Возведение результатов в третью и четвёртую степени возвращает соответственно 8·27 и 16/81.
В уравнении требуется найти все числа, четвёртая степень которых равна 16. Поскольку степень чётная, противоположные числа имеют одинаковую степень; арифметический корень, напротив, обозначает только неотрицательное число.
Ответ: уравнение имеет решения x = −2 и x = 2, а значение √[4]{16} равно 2. Это показывает, почему знак ± относится к решениям уравнения, а не к записи арифметического корня.
Ошибка: записывать √[4]{16} = ±2. Её допускают, смешивая арифметический корень с решениями уравнения x⁴ = 16. Проверь обозначение: знак корня выбирает неотрицательное значение, поэтому √[4]{16} = 2; ±2 — решения уравнения.
Ошибка: извлекать корень чётной степени из отрицательного числа в действительных числах. Такую попытку подсказывает привычка считать, что любому числу соответствует корень, но чётная степень неотрицательна. Проверь знак: если подкоренное число отрицательно, действительного корня чётной степени нет.
Ошибка: считать, что корень нечётной степени из отрицательного числа не существует. Это происходит, если правило для чётной степени переносят на все корни. Проверь возведением: (−2)³ = −8, следовательно, √[3]{−8} = −2.
Ошибка: применять свойства произведения или частного, не проверив допустимость выражений. Например, при чётной степени отрицательный подкоренный множитель может сделать корень несуществующим, а знаменатель частного может оказаться нулём. Перед преобразованием проверь знаки подкоренных выражений и условие знаменателя: он должен быть отличен от нуля.
Чтобы уверенно работать с корнями, нужно знать возведение в степень, свойства степеней и способы решения простых уравнений xⁿ = a. Эти знания помогают проверять значения корней и понимать, почему чётная и нечётная степени ведут себя по-разному. Корни понадобятся при изучении степенных функций и дробных показателей степени, а также при решении уравнений и неравенств. Поэтому умение учитывать область допустимых значений важно и в следующих темах.
Почему √[4]{16} равен 2, а не ±2?
Знак корня чётной степени обозначает арифметический корень — неотрицательное число. Число 2 и −2 оба удовлетворяют уравнению x⁴ = 16, но √[4]{16} = 2.
Можно ли извлечь корень чётной степени из отрицательного числа?
В действительных числах нельзя: четвёртая, вторая и любая чётная степень числа неотрицательна. Поэтому, например, √[4]{−16} не определён среди действительных чисел.
Почему корень нечётной степени из отрицательного числа существует?
При возведении отрицательного числа в нечётную степень результат остаётся отрицательным. Например, (−2)³ = −8, поэтому √[3]{−8} = −2.
Как проверить, правильно ли найден корень?
Возведи найденное число в степень, указанную у корня, и сравни результат с подкоренным числом. Для чётного корня дополнительно проверь, что ответ неотрицателен.
При каких условиях можно вынести множители из-под знака корня?
Для корня чётной степени выражение под корнем должно быть неотрицательным, а при делении знаменатель не должен равняться нулю. При извлечении корня из произведения чётной степени оба множителя должны быть неотрицательны; для нечётной степени допустимы любые действительные множители.
1.2. Корень степени n
