"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углублённый уровни", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Корень n-й степени помогает найти число, которое при возведении в степень n даёт заданное значение. Для чётного показателя арифметический корень существует только из неотрицательного числа и сам неотрицателен, а для нечётного — из любого действительного числа. Свойства корней позволяют разбивать произведение и частное на более простые части, упрощать выражения и аккуратно работать с модулем.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Корнем n-й степени из числа a называют число x, для которого xⁿ = a. Если n чётное и a > 0, уравнение имеет два действительных корня: противоположные числа. Если n нечётное, корень единственный при любом действительном a; это определение помогает понять, какие значения могут стоять под знаком корня.
Арифметический корень n-й степени из числа a — неотрицательное число, n-я степень которого равна a. При чётном n он определён только при a ≥ 0, а при нечётном n — при любом действительном a. Слово «арифметический» указывает, что из двух корней чётной степени выбирают именно неотрицательный.
Показатель корня n — натуральное число, которое показывает, в какую степень нужно возвести корень, чтобы получить подкоренное число. В записи ⁿ√a число n обычно ставят слева сверху у знака корня. Для квадратного корня показатель 2 принято не писать: √a означает ²√a.
Подкоренное выражение — число или выражение, записанное под знаком корня. Для корня чётной степени оно должно быть неотрицательным, если рассматриваются действительные значения. У корня нечётной степени такого ограничения нет, поэтому проверка подкоренного выражения помогает найти допустимые значения переменных.
У чётной степени результат возведения в степень не может быть отрицательным: и положительное, и отрицательное число при таком возведении дают неотрицательное значение. Поэтому уравнение xⁿ = a не имеет действительных решений при a < 0, а при a > 0 имеет два противоположных решения. Нечётная степень сохраняет знак числа и принимает любые действительные значения, поэтому для каждого a существует ровно один корень.
Для неотрицательных a и b можно обозначить ⁿ√a = u и ⁿ√b = v, где u и v тоже неотрицательны. Тогда (uv)ⁿ = uⁿvⁿ = ab, а значит, uv является арифметическим корнем произведения: ⁿ√(ab) = ⁿ√a · ⁿ√b. Для частного рассуждение такое же: если b > 0, то (u/v)ⁿ = a/b, поэтому ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b; знаменатель не должен быть нулём.
При возведении арифметического корня в ту же степень значение возвращается к подкоренному числу: (ⁿ√a)ⁿ = a, если корень определён. В обратном направлении результат зависит от чётности: ⁿ√(aⁿ) = a для нечётного n, потому что нечётный корень сохраняет знак. При чётном n ответ равен |a|: арифметический корень неотрицателен и не может вернуть отрицательное a.
В выражении ⁿ√(aⁿ) при чётном n модуль нужен именно для сохранения неотрицательности результата. Если a ≥ 0, то |a| = a, а если a < 0, то |a| = −a, и в обоих случаях ответ неотрицателен. При нечётном n знак сохраняется, поэтому ⁿ√(aⁿ) = a без модуля.
Пусть сначала извлекают корень степени n, а затем корень степени m. Полученный результат в степени mn даёт исходное число, поэтому последовательное извлечение можно заменить корнем степени mn: ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐⁿ√a. Это равенство используют, только когда оба корня существуют в действительных числах. Если один из показателей чётный, необходимо дополнительно проверить, что подкоренное выражение неотрицательно.
В таблице собраны правила, которые помогают преобразовывать корни, не меняя значения выражения. Перед применением сначала проверь условия в последнем столбце, особенно знак подкоренных выражений и ненулевой знаменатель. Буквы в формулах обозначают действительные числа.
| Свойство | Формула | Условия |
|---|---|---|
| Корень из произведения | ⁿ√(ab) = ⁿ√a · ⁿ√b | При чётном n: a ≥ 0, b ≥ 0; при нечётном n: любые a, b |
| Корень из частного | ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b | b ≠ 0; при чётном n: a ≥ 0, b > 0 |
| Корень из степени | ⁿ√(aⁿ) = |a| при чётном n; ⁿ√(aⁿ) = a при нечётном n | a — действительное число |
| Степень корня | (ⁿ√a)ⁿ = a | При чётном n: a ≥ 0; при нечётном n: любое a |
| Корень из корня | ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐⁿ√a | Оба корня должны существовать в действительных числах |
Задача 1. Вычислите √(36 · 25), используя свойства корней. Под знаком квадратного корня стоит произведение положительных чисел, поэтому его можно представить как произведение корней. Так вычисления станут проще: отдельно извлечём квадратные корни из 36 и 25.
Ответ: 30. Проверка: 30² = 900, и 36 · 25 тоже равно 900. Значит, вычисление согласуется с определением квадратного корня.
Задача 2. Упростите ⁴√(16x⁴) при действительном x. Четвёртый корень можно разделить на корни множителей, так как 16 ≥ 0 и x⁴ ≥ 0 при любом действительном x. Важно не потерять знак переменной при извлечении корня из её четвёртой степени.
Ответ: 2|x|. Если x отрицательное, исходное выражение всё равно неотрицательно, поэтому ответ не может быть 2x. При x ≥ 0 модуль можно заменить на x.
Задача 3. Упростите ³√(a⁶b³) и проверьте, верно ли равенство ³√(a⁶b³) = a²b для любых действительных a и b. Корень нечётной степени определён при любом действительном подкоренном значении, так что ограничений на a и b нет. Разделим произведение и отдельно упростим каждый корень.
Ответ: ³√(a⁶b³) = a²b для любых действительных a и b. Проверка области допустимых значений показывает, что все части выражения определены при любых a и b. Поэтому равенство верно без дополнительных условий.
Ошибка: считать, что корень чётной степени можно извлечь из любого действительного числа. В действительных числах чётная степень не бывает отрицательной, поэтому такой корень из отрицательного числа не определён. Проверяй знак подкоренного выражения до вычислений: для выражения с переменной составь условие, что оно не меньше нуля.
Ошибка: записывать ⁿ√(aⁿ) = a при чётном n, забывая о модуле. Это происходит, когда используют знакомое сокращение корня и степени, но не учитывают, что a может быть отрицательным, а арифметический корень неотрицателен. Подставь, например, a = −2: правильный ответ равен 2, поэтому нужна формула ⁿ√(aⁿ) = |a|.
Ошибка: применять свойства произведения и частного, не проверив условия. Например, корень чётной степени из отрицательного множителя в действительных числах не существует, а в частном знаменатель не может быть нулём. Перед преобразованием проверь допустимость каждого корня и отдельно условие на знаменатель; для нечётного корня ограничения по знаку нет.
Ошибка: считать, что √(a + b) = √a + √b. Свойство произведения основано на возведении произведения в степень и не распространяется на сумму или разность. Проверить сомнительное равенство можно простыми числами: √(9 + 16) = 5, но √9 + √16 = 7.
Для работы с корнями нужны определение степени с натуральным показателем, свойства степеней и модуль числа. Именно свойства степеней объясняют, почему корень из произведения и корень из степени можно преобразовывать по указанным правилам, а модуль учитывает знак исходного числа.
Свойства корней помогают упрощать выражения с радикалами и решать уравнения, содержащие корни. Корень n-й степени также связан со степенями с рациональным показателем: при допустимых значениях ⁿ√a записывают как a в степени 1/n. Такая запись позволяет применять к выражениям с корнями правила действий со степенями.
Почему арифметический корень чётной степени не может быть отрицательным?
Арифметический корень по определению неотрицателен. Кроме того, чётная степень любого действительного числа неотрицательна, поэтому отрицательное число не может быть значением арифметического корня.
Можно ли извлечь корень чётной степени из отрицательного числа?
В действительных числах нельзя: чётная степень любого действительного числа неотрицательна. Поэтому подкоренное выражение корня чётной степени должно быть не меньше нуля.
Почему при извлечении корня чётной степени из aⁿ появляется модуль?
Потому что арифметический корень чётной степени неотрицателен, а число a может быть отрицательным. Поэтому ⁿ√(aⁿ) = |a| при чётном n: например, √((-3)²) = 3.
Всегда ли можно разложить корень из произведения на произведение корней?
Можно, если каждый корень в правой части определён. Для корней чётной степени множители должны быть неотрицательными; для нечётной степени допустимы любые действительные множители.
Почему нельзя раскрывать корень из суммы по частям?
Свойство корня из произведения не распространяется на сумму. Например, √(9 + 16) = 5, а √9 + √16 = 7, поэтому эти выражения не равны.
1.3. Свойства корней степени n
