5.4. Свойства корней степени n

Определения и обозначения

Корень степени n из числа a — число, n-я степень которого равна a; его записывают √[n]{a}. Иными словами, это действие, обратное возведению в степень. Такая запись помогает найти число, которое было возведено в известную степень.

Арифметический корень n-й степени — неотрицательное число √[n]{a}, для которого (√[n]{a})ⁿ = a. Он определён при a ≥ 0. Слово «арифметический» напоминает, что из двух возможных корней чётной степени выбирают только положительный или нулевой.

Корень нечётной степени существует для любого действительного подкоренного числа и имеет единственное действительное значение. Например, √[3]{−27} = −3. Это позволяет извлекать корни нечётной степени и из отрицательных чисел.

Корень чётной степени рассматривают из неотрицательного числа, а арифметический результат выбирают неотрицательным. Например, √[4]{16} = 2, хотя 2⁴ и (−2)⁴ равны 16. Поэтому знак корня обозначает не оба решения, а только арифметический корень.

Как это устроено

При нечётном показателе степени знак числа сохраняется: отрицательное число в нечётной степени остаётся отрицательным, положительное — положительным. Поэтому для любого a можно найти единственное число, n-я степень которого равна a. При чётном показателе и положительные, и отрицательные числа дают положительный результат, а отрицательное число в чётную степень получить нельзя.

Арифметический корень чётной степени выбирают неотрицательным, чтобы каждому допустимому a соответствовало одно значение. Уравнение xⁿ = a устроено иначе: при чётном n и a > 0 оно имеет два решения, x = √[n]{a} и x = −√[n]{a}. Значит, корень — это обозначение одного значения, а не полный список решений уравнения.

Свойство произведения следует из возведения в степень: если u = √[n]{a} и v = √[n]{b}, то (uv)ⁿ = uⁿvⁿ = ab. При допустимых значениях это показывает, что uv является корнем из ab. Поэтому √[n]{ab} = √[n]{a} · √[n]{b}, если обе части определены.

Аналогично для частного: если v ≠ 0, то (u/v)ⁿ = uⁿ/vⁿ = a/b. Значит, корень из частного можно заменить частным корней, но знаменатель не должен быть нулём, а для арифметических корней подкоренные числа должны быть неотрицательными. Без проверки этих условий преобразование может привести к неверному выражению.

При вычислении √[n]{aⁿ} нужно учитывать чётность n. Нечётная степень сохраняет знак, поэтому результат равен a, а чётная степень стирает знак и арифметический корень возвращает положительное значение |a|. Из определения также следуют формулы √[m]{√[n]{a}} = √[mn]{a} и переход √[n]{a} = a^1/n для допустимых значений.

Основные свойства корней степени n

Сначала определите вид преобразования: произведение, частное, степень или вложенный корень. Затем проверьте область допустимых значений и только после этого применяйте нужную формулу. Если под корнем стоит чётная степень переменного выражения, не забывайте о модуле.

Разбор задач

1. Вычислить √[3]{−125} и √[4]{81}

Нужно найти числа, которые после возведения в соответствующую степень дадут подкоренные числа. В первом случае показатель нечётный, поэтому отрицательный результат возможен. Во втором случае арифметический корень должен быть неотрицательным.

1. Так как (−5)³ = −125, получаем √[3]{−125} = −5.
2. Так как 3⁴ = 81 и 3 ≥ 0, получаем √[4]{81} = 3.

Ответ: −5 и 3.

2. Упростить √[3]{54} · √[3]{4} и √[5]{96}/√[5]{3}

В обоих выражениях одинаковый показатель корня, поэтому можно объединить подкоренные выражения. Для произведения используем свойство корня из произведения, а для дроби — свойство корня из частного. После объединения выносим из-под корня полную степень.

1. √[3]{54} · √[3]{4} = √[3]{216} = 6, поскольку 216 = 6³.
2. √[5]{96}/√[5]{3} = √[5]{96/3} = √[5]{32} = 2, поскольку 32 = 2⁵.

Ответ: 6 и 2.

3. Упростить √[6]{x⁶} и решить √[4]{(x − 2)⁴} = 3

Показатель корня в первом выражении чётный, поэтому результат не может быть отрицательным. Во втором выражении сначала заменяем корень через модуль, а затем решаем уравнение с модулем. Такой порядок не позволяет потерять один из вариантов ответа.

1. √[6]{x⁶} = |x|.
2. √[4]{(x − 2)⁴} = |x − 2|, поэтому |x − 2| = 3.
3. Из уравнения с модулем получаем x − 2 = 3 или x − 2 = −3.
4. Следовательно, x = 5 или x = −1.

Ответ: √[6]{x⁶} = |x|; x = −1, 5.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что √[n]{aⁿ} всегда равно a. Её допускают, забывая, что чётный корень неотрицателен; проверка проста: при чётном n поставьте модуль. Например, √[2]{(−3)²} = 3, а не −3.

Ошибка: раскрывать корень суммы как сумму корней. Такое правило кажется похожим на свойство произведения, но при возведении суммы в степень появляются дополнительные слагаемые. Подставьте простые числа и сравните обе части: √9 ≠ √4 + √5.

Ошибка: применять свойство частного без проверки знаменателя и подкоренных выражений. Причина — механическая работа по формуле без определения области допустимых значений. Проверьте, что знаменатель не равен нулю и все арифметические корни существуют.

Ошибка: путать арифметический корень с решениями уравнения xⁿ = a. Ученик видит два числа, дающих одну чётную степень, и записывает оба под знаком корня. Сверьте знак: обозначение √[n]{a} означает только неотрицательное значение.

Связь с другими темами

Для работы с корнями нужны свойства степеней, действия с дробями, модуль числа и решение уравнений. Эти знания помогают преобразовывать радикалы без ошибок и учитывать ограничения.

Свойства корней применяются при упрощении выражений, переходе к дробным степеням и решении иррациональных уравнений. Далее они пригодятся при изучении функции y = √[n]{x} и выражений с рациональными показателями.

Что запомнить

• Арифметический корень чётной степени существует только при неотрицательном подкоренном числе.
• Корень нечётной степени существует для любого действительного подкоренного числа.
• Арифметический корень всегда неотрицателен.
• Корень из произведения равен произведению корней при соблюдении условий применимости.
• Корень из частного равен частному корней при ненулевом знаменателе.
• √[n]{aⁿ} равно a при нечётном n и |a| при чётном n.
• Корень из корня можно заменить одним корнем с показателем, равным произведению показателей.