5.5. Функция у = Ух, х > 0

Определения и обозначения

Арифметический квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Например, √9 = 3, потому что 3² = 9, а число −3 арифметическим корнем не является. Это определение помогает правильно выбирать знак результата при вычислениях.

Функция y = √x — правило, по которому каждому положительному значению x ставится в соответствие единственное положительное значение y. Например, числу 4 соответствует только число 2. Такое правило позволяет рассматривать корень как зависимую величину и изображать зависимость на координатной плоскости.

Область определения функции — множество допустимых значений аргумента, то есть переменной x. Для рассматриваемой функции это множество всех чисел, удовлетворяющих условию x > 0. Условие нужно учитывать до вычислений и при построении графика.

Множество значений функции — все значения y, которые получаются при допустимых x. Здесь y > 0, потому что корень из положительного числа положителен. Это ограничение показывает, в какой части координатной плоскости может находиться график.

Как это устроено

Выражение √x задаёт функцию, потому что каждому положительному x соответствует ровно одно арифметическое значение корня. Например, уравнение t² = 16 имеет два решения, 4 и −4, но арифметическим квадратным корнем выбирают только 4. Поэтому одному аргументу x не соответствуют два разных значения y, и правило является функцией.

При x > 0 подкоренное число положительно. Квадратный корень из положительного числа не может быть равен нулю: если y = 0, то y² = 0, а не положительное x. Поэтому в данной функции y тоже положительно, а значение y = 0 не рассматривается вместе с точкой x = 0.

Из равенства y = √x следует, что y² = x: достаточно возвести обе части в квадрат. Значит, точки графика удовлетворяют уравнению x = y². Это та же параболическая зависимость, которая связана с графиком y = x² обменом координат x и y; в первой четверти получается соответствующая ветвь, а условие y > 0 отсекает остальные части.

Функция возрастает, потому что большему положительному подкоренному числу соответствует больший квадратный корень. Если 0 < a < b, то число √a не может быть больше или равно √b: после возведения в квадрат это противоречило бы a < b. Следовательно, при движении слева направо точки графика поднимаются.

Для построения выбирают удобные значения x, являющиеся квадратами целых чисел. Получаются точки (1; 1), (4; 2), (9; 3), а затем между ними проводят плавную возрастающую кривую. Чем больше подходящих точек отмечено, тем легче сохранить правильную форму графика, но соединять их отрезками не нужно.

Основные свойства функции y = √x, x > 0

Таблица помогает быстро проверить ответ: сначала находят допустимые x, затем определяют возможные y и свойства изменения функции. При построении графика особенно полезны строки о знаке и возрастании. Связь с параболой объясняет форму кривой, но не означает, что нужно рисовать весь график y = x².

Разбор задач

Задача 1. Найти значения функции y = √x при x = 1, 4, 9 и построить по ним график. Эти аргументы выбраны удобно, потому что каждый из них является квадратом целого числа. Нужно вычислить соответствующие корни и отметить точки.

1. Вычислим значения: при x = 1 получаем y = √1 = 1; при x = 4 — y = √4 = 2; при x = 9 — y = √9 = 3.
2. Составим таблицу: x: 1, 4, 9; y: 1, 2, 3. На координатной плоскости отметим точки (1; 1), (4; 2), (9; 3).
3. Соединим точки плавной возрастающей кривой, не включая начало координат, поскольку x = 0 запрещено.

Ответ: значения функции равны 1, 2 и 3; график проходит через точки (1; 1), (4; 2), (9; 3).

Задача 2. Сравнить значения функции при x = 2 и x = 5 без приближённого вычисления корней. Оба аргумента положительны и принадлежат области определения. Поэтому можно применить свойство возрастания, не находя десятичные приближения.

1. Сравним аргументы: 2 < 5.
2. Так как функция y = √x возрастает при x > 0, неравенство сохраняет направление: √2 < √5.
3. Приближённые значения не нужны: порядок корней уже следует из порядка положительных подкоренных чисел.

Ответ: √2 < √5.

Задача 3. Решить уравнение √(2x − 1) = 3 и объяснить допустимость найденного значения. Подкоренное выражение должно быть положительным, потому что рассматриваем функцию при положительном аргументе. После преобразования результат необходимо проверить в исходном уравнении.

1. Запишем условие допустимости: 2x − 1 > 0, откуда x > ½.
2. Возведём обе части в квадрат: 2x − 1 = 9. Тогда 2x = 10 и x = 5.
3. Проверим: 2 · 5 − 1 = 9, а √9 = 3. Кроме того, 5 > ½, поэтому найденное значение допустимо.

Ответ: x = 5.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Область определения записывают как x ≥ 0. Ноль действительно допустим для обычного корня, но в этой теме задано строгое условие x > 0. Проверьте, не добавили ли вы точку (0; 0) в график.

Ошибка 2. Считают, что √x может быть отрицательным. Путают два решения уравнения t² = x с одним арифметическим корнем. Проверьте знак: квадратный корень всегда неотрицателен, а при x > 0 — положителен.

Ошибка 3. Рисуют всю параболу y = x² вместо графика корневой функции. Причина — забыто, что у функции есть ограничения x > 0 и y > 0, а графики связаны отражением. Сверьте рисунок с точками (1; 1), (4; 2), (9; 3) и оставьте только нужную кривую.

Ошибка 4. Сравнивают корни без сравнения подкоренных выражений или меняют знак неравенства. Для положительных a и b сначала установите, какое из чисел a и b больше: функция возрастает, поэтому √a и √b расположены в том же порядке. Быстрая проверка — возвести полученное сравнение положительных корней в квадрат.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны определение арифметического квадратного корня, свойства степеней и умение строить график по таблице значений. Функция связана с уравнением y² = x и отражением ветви параболы y = x². Позже она пригодится при решении иррациональных уравнений и неравенств, а также при изучении преобразований графиков.

Что запомнить

• Функция задаётся формулой y = √x при x > 0.
• Область определения функции: x > 0.
• Множество значений функции: y > 0.
• Функция y = √x возрастает на всей области определения.
• График функции расположен в первой четверти и связан с ветвью параболы y = x² отражением относительно прямой y = x.
• Для построения графика удобно использовать точки (1; 1), (4; 2), (9; 3).