5.6*. Корень степени п из натурального числа

Определения и обозначения

Корень степени n из натурального числа a — положительное число, n-я степень которого равна a: (√[n]a)ⁿ = a. Иными словами, нужно найти такое число, которое при умножении само на себя n раз даст a. Это определение позволяет проверять значение корня обратным возведением в степень.

Арифметический корень — единственный неотрицательный корень уравнения xⁿ = a. Неотрицательный значит «больше или равен нулю», поэтому арифметический корень не выбирают со знаком минус. Такое уточнение нужно, чтобы обозначение корня всегда имело одно определённое значение.

Показатель корня n — число, указывающее, в какую степень нужно возвести результат. В записи √[n]a именно маленькое число слева сверху показывает порядок корня. По показателю можно отличить квадратный, кубический и корни других степеней.

Подкоренное выражение — число или выражение, записанное под знаком корня. В записи √[n]a подкоренным является a, а в √[3](x + 1) — выражение x + 1. От него зависит, какое значение будет иметь корень и можно ли применять к нему свойства.

Как это устроено

Для каждого натурального a существует единственный положительный корень степени n, потому что функция y = xⁿ возрастает при x > 0. Если взять два положительных числа x₁ < x₂, то при умножении положительных множителей большее число сохраняет преимущество: x₁ⁿ < x₂ⁿ. Поэтому одно и то же положительное значение a не может получиться от двух разных положительных чисел.

Запись √[n]a читается «корень степени n из a» или «n-й корень из a». Для квадратного корня показатель 2 обычно не пишут: √[2]a = √a. Это исторически закрепившееся сокращение не меняет смысла записи, но для кубического и остальных корней показатель необходим.

Если натуральное число не является точной n-й степенью натурального числа, его корень не может быть натуральным. Действительно, будь корень натуральным, его n-я степень совпадала бы с подкоренным числом, а это как раз означало бы, что число является точной степенью. Например, 20 не является квадратом натурального числа, поэтому √20 не является натуральным числом.

Проверить точное извлечение можно по разложению на простые множители. Если a = p₁ᵏ¹ · p₂ᵏ² · …, то корень степени n извлекается нацело тогда и только тогда, когда каждый показатель k₁, k₂ и так далее делится на n. Например, 72 = 2³ · 3²: для шестого корня показатели 3 и 2 не делятся на 6, значит, корень не является натуральным.

Правила для произведения, частного и степени следуют из обратности возведения в степень. Если a = uⁿ и b = vⁿ, то ab = (uv)ⁿ, поэтому √[n](ab) = √[n]a · √[n]b; аналогично получается правило частного. Для неотрицательного x число x уже является единственным арифметическим корнем своей степени, поэтому √[n](xⁿ) = x.

Корень степени n из натурального числа: определения и свойства

Сначала определите, какое свойство подходит к условию: точная степень, произведение, частное или разложение на простые множители. Затем проверьте ограничения, особенно неотрицательность и ненулевой знаменатель. Таблица помогает выбрать формулу, но результат полезно проверить возведением в n-ю степень.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить √[3]216 и √[5]32. Здесь нужно распознать подкоренные числа как точные степени натуральных чисел. Для этого подберём основания и проверим их возведением в указанную степень.

1. 216 = 6 · 6 · 6 = 6³, поэтому √[3]216 = 6.
2. 32 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 2⁵, поэтому √[5]32 = 2.

Ответ: 6 и 2.

Задача 2. Установить, является ли 6 корнем степени 4 из 1296, и найти значение корня. По определению нужно сравнить 6⁴ с подкоренным числом, а затем проверить, нет ли другого неотрицательного значения. Вычислим: 6⁴ = 1296.

1. Так как 6⁴ = 1296, число 6 действительно является корнем уравнения x⁴ = 1296.
2. Арифметический корень неотрицателен, поэтому √[4]1296 = 6.

Ответ: да, 6 является корнем; значение арифметического корня равно 6.

Задача 3. Доказать, что √[6]72 не является рациональным числом. Разложим 72 на простые множители и используем признак точной шестой степени. Если бы корень был рациональным, то при целом подкоренном числе он должен был бы иметь вид целого числа: у несократимой дроби шестая степень не может быть целой при ненулевом знаменателе, отличном от 1.

1. 72 = 2³ · 3².
2. Показатели 3 и 2 не делятся на 6, значит, 72 не является шестой степенью целого числа.
3. Следовательно, √[6]72 не может быть рациональным числом.

Ответ: √[6]72 — иррациональное число.

Типичные ошибки

Путают арифметический корень с двумя решениями уравнения xⁿ = a. Ошибка возникает потому, что при чётной степени числа x и −x дают одинаковый результат. Проверяйте знак: символ корня обозначает неотрицательное значение, а второе решение при необходимости записывают отдельно как −√[n]a.

Считают, что корень из произведения равен сумме корней. Вероятно, правило путают с раскрытием скобок или неверно переносят действие за знак корня. Проверка проста: правильная формула содержит произведение √[n]a · √[n]b, а не сложение.

Неверно применяют правило корня из степени, забывая об условии неотрицательности. Например, √(−3)² = |−3| = 3, а не −3, потому что арифметический корень неотрицателен. Перед применением формулы для чётного n заменяйте результат на |x| или заранее убеждайтесь, что x ≥ 0.

Объявляют корень натуральным только потому, что подкоренное число натуральное. Натуральность исходного числа не означает, что оно является точной n-й степенью. Разложите число на простые множители и проверьте делимость каждого показателя на n.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны степени с натуральным показателем и разложение натуральных чисел на простые множители. Свойства пропорций помогают уверенно работать с отношениями и частными, в том числе при преобразовании дробей под знаком корня.

Корни степени n понадобятся при изучении иррациональных чисел и преобразовании выражений с корнями. Они также используются при решении уравнений, когда неизвестную находят обратным действием к возведению в степень.

В задачах корни помогают находить размеры по площади, объёму и другим величинам. Например, длина ребра куба выражается кубическим корнем из его объёма, а некоторые средние величины требуют извлечения корней более высоких степеней.

Что запомнить

• Корень степени n из a — положительное число, n-я степень которого равна a.
• Арифметический корень всегда неотрицателен.
• Показатель корня показывает степень, в которую возводят результат.
• Если натуральное число является точной n-й степенью, его корень — натуральное число.
• По разложению на простые множители корень извлекается нацело, если все показатели делятся на n.
• Корень из произведения равен произведению корней при допустимых значениях.
• Корень из числа, не являющегося точной n-й степенью, может быть иррациональным.