5.3. Арифметический корень степени п

Определения и обозначения

Арифметический корень степени n — неотрицательное число, n-я степень которого равна подкоренному числу. Например, √[3]{8} = 2, потому что 2³ = 8. Неотрицательность нужна, чтобы корень из одного числа имел единственное значение.

Показатель корня n — число, указывающее, какую степень нужно возвести в корень. В записи √[n]{a} именно n показывает действие, обратное возведению в n-ю степень. Если показатель равен 2, его обычно не пишут: √a означает √[2]{a}.

Подкоренное выражение — число или выражение, записанное под знаком корня. В записи √[n]{a + b} подкоренным выражением является a + b, а не только отдельное число a. От него зависит, существует ли корень и какое значение он имеет.

Извлечение корня — действие, обратное возведению в степень. Чтобы вычислить √[n]{a}, нужно найти такое неотрицательное число, которое в n-й степени даст a. Это действие позволяет переходить от результата степени обратно к её основанию.

Как это устроено

Арифметический корень выбирают неотрицательным, потому что при чётной степени положительное и отрицательное числа дают один и тот же результат: 3² = (−3)² = 9. Если разрешить оба значения, запись √9 была бы неоднозначной. Неотрицательный выбор оставляет ровно одно значение: √9 = 3.

Существование корня связано с функцией y = xⁿ на неотрицательных x. На этом промежутке она возрастает: при увеличении x значение степени не уменьшается, поэтому каждое допустимое значение a достигается не более одного раза. Для чётного n значения функции неотрицательны, а для нечётного n она принимает и отрицательные значения, поэтому корень нечётной степени существует для любого действительного числа.

При чётном показателе корень из отрицательного числа в действительных числах не определён: никакое действительное число в квадрате или четвёртой степени не даст отрицательного результата. При нечётном показателе знак сохраняется: (−2)³ = −8, значит, √[3]{−8} = −2. Поэтому правила для чётных и нечётных корней нужно применять с учётом знака подкоренного выражения.

Равенство √[n]{a} = b означает, что b неотрицательно и bⁿ = a. Поэтому возведение найденного корня в n-ю степень возвращает a, а извлечение корня из неотрицательной степени возвращает её неотрицательное основание. Из этих двух наблюдений получают формулы для произведения, частного, степени и корня из корня: свойства степеней переносятся на корни, если все выражения допустимы.

Арифметический корень степени n: основные свойства

Таблица показывает не только формулу, но и условия, без которых она может оказаться неверной. Перед преобразованием проверьте знаки подкоренных выражений и знаменателей. При чётном показателе особенно внимательно следите за модулем.

Разбор задач

Вычислить √[5]{243}

Нужно представить подкоренное число как пятую степень. Тогда корень и степень сократятся, потому что показатель корня совпадает с показателем степени.

1. Заметим, что 243 = 3⁵.
2. Подставим это представление: √[5]{243} = √[5]{3⁵}.
3. Так как 3 неотрицательно, применяем формулу √[n]{aⁿ} = a и получаем 3.

Ответ: 3.

Упростить выражение √[6]{64a¹²b⁶}

Здесь удобно представить каждый множитель под корнем как шестую степень. Для переменной b нельзя просто написать b: при чётном показателе результатом будет |b|.

1. Запишем 64 = 2⁶, a¹² = (a²)⁶, b⁶ = b⁶.
2. Получим √[6]{2⁶ · (a²)⁶ · b⁶}.
3. Извлечём множители: 2 · a² · |b|, поскольку a² ≥ 0.

Ответ: 2a²|b|.

Решить уравнение √[3]{x − 1} = x − 1

Одинаковое выражение встречается под корнем и справа, поэтому его удобно обозначить одной буквой. Кубический корень определён при любом значении t, а после возведения в куб равенство будет равносильным.

1. Пусть t = x − 1. Тогда уравнение принимает вид √[3]{t} = t.
2. Возведём обе части в куб: t = t³, или t³ − t = 0.
3. Разложим на множители: t(t − 1)(t + 1) = 0. Отсюда t = 0, t = 1 или t = −1.
4. Вернёмся к x: x = 1, x = 2 или x = 0. Подстановка в исходное уравнение подтверждает все три значения.

Ответ: x = 0, 1, 2.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что √[n]{aⁿ} всегда равно a. Так делают, забывая о неотрицательности арифметического корня. При чётном n правильная запись для произвольного a — √[n]{aⁿ} = |a|; проверьте случай a < 0.

Ошибка: извлекать арифметический корень чётной степени из отрицательного числа. Причина — механический перенос правил нечётного корня. Сначала определите знак подкоренного выражения: при чётном показателе он должен быть неотрицательным.

Ошибка: использовать формулу √[n]{a + b} = √[n]{a} + √[n]{b}. Свойства корня из суммы нет, хотя похожие правила существуют для произведения и частного. Проверьте равенство на простом примере, например √9 и √4 + √5.

Ошибка: забывать условие b > 0 в формуле корня из частного. Нулевой знаменатель запрещён, а при чётном показателе отрицательный знаменатель может сделать выражение недопустимым. Перед применением формулы отдельно проверьте числитель, знаменатель и весь подкоренный дробный выражение.

Связь с другими темами

До изучения корней нужны свойства степеней, умение возводить числа и выражения в степень, а также понятие модуля. Без этого трудно понять, почему при чётном показателе появляется |a|.

Корни используются при преобразовании выражений, решении уравнений и работе с иррациональными выражениями. Умение проверять область допустимых значений помогает не потерять ограничения и не получить лишние ответы.

Дальше свойства корней понадобятся при изучении степени с рациональным показателем и преобразовании функций. Формулы корня фактически продолжают правила действий со степенями.

Что запомнить

• Арифметический корень всегда неотрицателен.
• √[n]{a} = b означает, что b ≥ 0 и bⁿ = a.
• При чётном n подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
• √[n]{aⁿ} = |a| при чётном n.
• Корень из произведения равен произведению корней при допустимых значениях.
• Корень из частного равен частному корней при положительном знаменателе.
• Корень из корня можно заменить одним корнем с показателем, равным произведению показателей.